Bài 1.7 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh phương trình \({x^5} - {x^2} - 2x - 1 = 0\) có nghiệm duy nhất

(Đề thi đại học năm 2004)

Hướng dẫn làm bài:

Trước hết cần tìm điều kiện của nghiệm phương trình (tức là xem nghiệm phương trình, nếu có, phải nằm trong khoảng nào). Ta nhận xét

x⁵ – x² – 2x – 1 = 0 ⇔  x⁵ - (x + 1)² = 0   => x ≥ 0

=>  (x + 1)² \( \ge \) 1  => x⁵ \( \ge \) 1   => x  \( \ge \) 1

Vậy, nếu có, nghiệm của phương trình phải thuộc \({\rm{[}}1; + \infty {\rm{)}}\) .

Xét hàm số  \(f(x) = {x^5} - {x^2} - 2x - 1\)  ta thấy f(x) liên tục trên R.

Ta có: f’(x) = 5x⁴ – 2x – 2

= (2x⁴ – 2x) + (2x⁴ – 2) + x⁴

= 2x(x³ – 1) + 2(x⁴ – 1) + x⁴ > 0 , \(\forall x \ge 1\)

Suy ra f(x) đồng biến trên \({\rm{[}}1; + \infty {\rm{)}}\)

Mặt khác, \(f(1) =  - 3 < 0,f(2) = 23 > 0\)

Vì f(x) liên tục trên [1; 2] và f(1) f(2) < 0 nên tồn tại \({x_0} \in (1;2)\) sao cho \(f({x_0}) = 0\)

Do hàm số đồng biến trên \([1;+\infty )\) nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Sachbaitap.com