Loigiaihay.com 2024

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 5.52 trang 187 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu

Cho hàm số

Cho hàm số

        \(f\left( x \right) = x + {{{x^2}} \over 2} + {{{x^3}} \over 3} + ... + {{{x^{n + 1}}} \over {n + 1}}\,\,\left( {n \in N} \right)\)

Tìm

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f'\left( x \right)\)                          b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f'\left( x \right)\)               

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {{1 \over 2}} \right)\)                      d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( 3 \right)\)

Giải

Ta có

                 \(f'\left( x \right) = 1 + x + {x^2} + ... + {x^n}\)

Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân cới số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = x \ne 1\) ta được:

                        \(f'\left( x \right) = {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}}\)

Từ đó suy ra

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + x + {x^2} + ... + {x^n}} \right) = n + 1\)                     

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}} = {{1 - {2^{n + 1}}} \over {1 - 2}} = {2^{n + 1}} - 1\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {{1 \over 2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{1 - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n}} \over {1 - {1 \over 2}}} = 2\)(vì\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n + 1}} = 0\))

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{1 - {3^{n + 1}}} \over {1 - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over 2}\left( {{3^{n + 1}} - 1} \right) =  + \infty \)

(vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n + 1}} = 0\) suy ra\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {3^{n + 1}} =  + \infty \))

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Bài viết liên quan