Cho n số thực \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) thoả mãn điều kiện
\( - 1 < {a_i} \le 0\) với \(i = \overline {1,n} \)
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có
\(\left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right)...\left( {1 + {a_n}} \right) \ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\)
Giải:
Với n = 1 bất đẳng thức đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k \ge 1\) tức là
\(\left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right)...\left( {1 + {a_k}} \right) \ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_k}\) (1)
Nhân hai vế của (1) với \(1 + {a_{k + 1}}\) ta được
\(\eqalign{
& \left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right) \ldots \left( {1 + {a_k}} \right)\left( {1 + {a_{k + 1}}} \right) \ge \left( {1 + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}} \right)\left( {1 + {a_{k + 1}}} \right) \cr
& = 1 + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_k} + {a_{k + 1}} + {a_1}{a_{k + 1}} + {a_2}{a_{k + 1}} + \ldots + {a_k}{a_{k + 1}} \cr}\)
Vì \({a_1}{a_{k + 1}} + {a_2}{a_{k + 1}} + ... + {a_k}.{a_{k + 1}} > 0\) nên
\(\left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right)...\left( {1 + {a_k}} \right)\left( {1 + {a_{k + 1}}} \right) \ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_k} + {a_{k + 1}}\), nghĩa là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1.\)
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục