Bài 6 trang 6 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng mặt phẳng trung trực của AB và mặt phẳng trung trực của CD chia tứ diện ABCD thành bốn tứ diện bằng nhau.

Giải

Gọi I là trung điểm của AB thì \(mp\left( {ICD} \right)\) là mặt phẳng trung trực của AB nên mặt phẳng đó chia tứ diện đều ABCD thành hai tứ diện bằng nhau : tứ diện AICD và tứ diện BICD. Gọi J là trung điểm CD thì \(mp\left( {JAB} \right)\) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện AICD nên nó chia tứ diện đó thành hai tứ diện bằng nhau : tứ diện CAIJ và tứ diện DAIJ. Cố nhiên \(\left( {JAB} \right)\) cũng là mặt phẳng đối xứng của tứ diện BICD nên nó chia tứ diện đó thành hai tứ diện bằng nhau : tứ diện CBIJ và tứ diện DBIJ.

Chú ý rằng phép đối xứng qua đường thẳng IJ biến tứ diện CAIJ thành tứ diện DBIJ nên hai tứ diện đó bằng nhau.

Tóm lại ta có bốn hình tứ diện bằng nhau: CAIJ, DAIJ, CBIJ, DBIJ.

Sachbaitap.com