Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện \({a^3} > 36\) và abc = 1
Xét tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - {\rm{a}}x - 3ac + {{{a^2}} \over 3}\)
a) Chứng minh rằng \(f(x) > 0,\forall x\);
b) Từ câu a) suy ra \({{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca.\)
Gợi ý làm bài
a) f(x) có
\(\eqalign{
& \Delta = {a^2} - 4( - 3bc + {{{a^2}} \over 3}) = {{ - {a^2}} \over 3} + 12bc \cr
& = {{ - {a^2}} \over 3} + {{12abc} \over a} = {{ - {a^2}} \over 3} + {{12} \over a} \cr} \)
\( = {{36 - {a^3}} \over {3a}} < 0\) (do giả thiết \({a^3} > 36\))
=> \(f(x) > 0,\forall x\)
b) \({{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca\)
\( \Leftrightarrow {{{a^2}} \over 3} + {(b + c)^2} - 2bc > bc + a(b + c)\)
\( \Leftrightarrow {(b + c)^2} - a(b + c) - 3bc + {{{a^2}} \over 3} > 0\)
\( \Leftrightarrow f(b + c) > 0\) đúng vì \(f(x) > 0,\forall x.\)
Sachbaitap.net
>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục