Câu 1.10 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số f:\(\left( {{{ - \pi } \over 4};{\pi  \over 4}} \right) \to R\) xác đinh bởi

                                \(f(x) = cosx{\rm{ + }}\sin x\tan {x \over 2}\)

a) Tìm đạo hàm của hàm số f

b) Từ a) suy ra rằng hàm số f  là một hàm hằng trên khoảng \(f:\left( {{{ - \pi } \over 4};{\pi  \over 4}} \right)\) và tìm hằng đó.

Giải

a) Ta có

 \(f'(x) =  - {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + \cos x\tan {x \over 2} + {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over {2{{\cos }^2}{x \over 2}}}\)

            \( =  - {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + \cos x\tan {x \over 2} + \tan {x \over 2}\) 

            \( =  - {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + \tan {x \over 2}(1 + \cos x)\)

             \( =  - {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = 0\) với mọi x ∈ \(\left( { - {\pi  \over 4};{\pi  \over 4}} \right).\)

b) Từ a) suy ra rằng f là một hàm hằng trên khoảng \(\left( { - {\pi  \over 4};{\pi  \over 4}} \right).\)

Do đó \(f(x) = f(0) = 1\) với mọi x ∈ \(\left( { - {\pi  \over 4};{\pi  \over 4}} \right).\)

Sachbaitap.com