Tìm những số thực a, b, c là ba số thực sao cho \({\rm{cos}}a.c{\rm{os}}b.c{\rm{os}}c \ne 0\). Tìm phần ảo của số phức.
\(\left( {1 + i\tan a} \right)\left( {1 + i\tan b} \right)\left( {1 + i\tan c} \right)\)
Rồi từ đó suy ra rằng với ba số a, b, c như thế thì:
\({\rm{tana}} + \tan b + \tan c = t{\rm{ana}}.\tan b.\tan c\)
Khi và chỉ khi \(a + b + c = k\pi \left( {k \in R} \right)\)
Giải
Phần ảo của số phức \(\left( {1 + i{\mathop{\rm tana}\nolimits} } \right)\left( {1 + i{\mathop{\rm tanb}\nolimits} } \right)\left( {1 + i{\mathop{\rm tanc}\nolimits} } \right)\) bằng
\(\tan a + \tan b + \tan c - \tan a\tan b\tan c\)
Vậy \(\tan a + \tan b + \tan c = \tan a\tan b\tan c\) khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức là acgumen của số phức đó là một bội nguyên của \(\pi \)
Mặt khác , \(1 + i\tan a = {1 \over {{\rm{cos}}a}}\left( {{\rm{cos}}a + i\sin a} \right)\) có acgumen là \(a + l\pi \) (l là số nguyên bất kì); tương tự cho \(1 + i\tan b;1 + i\tan c\). Vậy
\(\left( {1 + i\tan a} \right)\left( {1 + i\tan b} \right)\left( {1 + i\tan c} \right)\) có acgumen là \(a + b + c + m\pi ,m \in Z\)
Kết luận: \(\tan a + \tan b + \tan c = \tan a\tan b\tan c \)
\(\Leftrightarrow a + b + c = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục