Bài 91 trang 139 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng

\(\eqalign{  & (\alpha ):2x - y + 3z + 1 = 0,  \cr  & (\alpha '):x - y + z + 5 = 0 \cr} \)

Và điểm M(1; 5; 0).

a) Chứng minh \((\alpha )\) và \((\alpha ')\) cắt nhau. Tính góc giữa\((\alpha )\) và \((\alpha ')\).

b) Viết phương trình tham số của giao tuyến \(\Delta \) của \((\alpha )\) và \((\alpha ')\).

c) Gọi hình chiếu của M trên mp \((\alpha )\), K là hình chiếu của M trên mp \((\alpha ')\). Tính độ dài đoạn HK.

d) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \).

e) Viết phương trình đường thẳng đi qua M , vuông góc với \(\Delta \) và cắt \(\Delta \).

f) Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của \((\alpha )\) ,\((\alpha ')\) và vuông góc với mặt phẳng (P):3x - y + 1=0.

Giải

a) Vì \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right),\overrightarrow {{n_{\alpha '}}}  = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} \) không cùng phương, do đó hai mặt phẳng (\(\alpha \)) và (\(\alpha '\)) cắt nhau.

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng đó, ta có :

\(\cos \varphi  = {{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} } \right|}}\)

           \(= {{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 3.1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 9} .\sqrt {1 + 1 + 1} }} = {6 \over {\sqrt {14} .\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {14} }}\)

b) \(M(x;y\;;z)\) thuộc \(\Delta \) khi và chỉ khi toạ độ của M thoả mãn hệ phương trình :

                    \(\left\{ \matrix{  2x{\rm{ }} - y + {\rm{ }}3z{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr  x{\rm{ }} - y + z + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0. \hfill \cr}  \right.\)

Đặt z = t, ta có

              \(\left\{ \matrix{  2x{\rm{ }} - y = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} - 3t{\rm{ }} \hfill \cr  x{\rm{ }} - y = {\rm{ }} - 5{\rm{ }} - t \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  x = 4 - 2t \hfill \cr  y = 9 - t. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là

\(\left\{ \matrix{  x{\rm{ }} = 4{\rm{ }} - 2t{\rm{ }} \hfill \cr  {\rm{y }} = {\rm{ }}9 - t \hfill \cr  z{\rm{ }} = {\rm{ }}t. \hfill \cr}  \right.\)

c) Vì H là giao điểm của đường thẳng đi qua M, vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) nên toạ độ \((x{\rm{ }};y;{\rm{ }}z)\) của H thoả mãn hệ :

\(\left\{ {\matrix{   {x{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}2t} \hfill  \cr   {y{\rm{ }} = {\rm{ }} - t} \hfill  \cr   {z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}3t} \hfill  \cr   {2x{\rm{ }} - y + {\rm{ }}3z{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = 0} \hfill  \cr  } } \right. \)

\(\Rightarrow t =  - {9 \over 7} \Rightarrow H = \left( { - {{11} \over 7};{9 \over 7};{8 \over 7}} \right).\)

Vì K là giao điểm của đường thẳng đi qua M, vuông góc với \(\left( {\alpha '} \right)\) nên toạ độ \((x{\rm{ }};y;{\rm{ }}z)\) của K thoả mãn hệ :

\(\left\{ {\matrix{   {x{\rm{ }} = 1 + {\rm{ }}t} \hfill  \cr   {y{\rm{ }} =  - t} \hfill  \cr   {z{\rm{ }} = 5 + {\rm{ }}t} \hfill  \cr   {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z + 5 = 0} \hfill  \cr  } } \right. \)

\(\Rightarrow t =  - {{11} \over 3} \Rightarrow K = \left( { - {8 \over 3};{{11} \over 3};{4 \over 3}} \right).\)

Vậy \(HK = \sqrt {{{\left( { - {8 \over 3} + {{11} \over 7}} \right)}^2} + {{\left( {{{11} \over 3} - {9 \over 7}} \right)}^2} + {{\left( {{4 \over 3} - {8 \over 7}} \right)}^2}} \)

              \( = \sqrt {{{\left( {{{23} \over {21}}} \right)}^2} + {{\left( {{{50} \over {21}}} \right)}^2} + {{\left( {{4 \over {21}}} \right)}^2}}  = {{\sqrt {3045} } \over {21}}.\)

d) \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \({M_o}\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}9{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 2; - 1;1} \right).\)

Ta có \(\overrightarrow {{M_o}M}  = {\rm{ }}\left( { - 3{\rm{ }};{\rm{ }} - 9{\rm{ }};{\rm{ }}5} \right),\) suy ra

\(\left[ {\overrightarrow {{M_o}M} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {\left| {\matrix{   { - 9} & 5  \cr   { - 1} & 1  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   5 & { - 3}  \cr   1 & { - 2}  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   { - 3} & { - 9}  \cr   { - 2} & { - 1}  \cr  } } \right|} \right) \)

                        \(= {\rm{ }}\left( { - 4{\rm{ }};{\rm{ }} - 7{\rm{ }};{\rm{ }} - 15} \right).\)

Vậy

\(d(M,\Delta ){\rm{ }} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_o}M} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} \)

                 \(= \;{{\sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {\rm{ }}{{\left( { - 7} \right)}^2} + {\rm{ }}{{\left( { - 15} \right)}^2}\;} } \over {\sqrt {\;{{\left( { - 2} \right)}^2} + {\rm{ }}{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = {{\sqrt {145} } \over {\sqrt 3 }}.\)        

e) Gọi (\(\beta \)) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với \(\Delta \). Phương trình của (\(\beta \)) là

\( - 2(x{\rm{ }} - 1){\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}0} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}5} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

hay \(2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y - {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Gọi J(x ; y ; z) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) với mặt phẳng (\(\beta \)).

Toạ độ của J thoả mãn hệ

\(\left\{ {\matrix{   \matrix{  x = {\rm{ }}4{\rm{ }} - 2t{\rm{ }} \hfill \cr  {\rm{y }} = {\rm{ }}9{\rm{ }} - t \hfill \cr  {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}t \hfill \cr}  \hfill  \cr   {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y - {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill  \cr  } } \right.\)

\(\Rightarrow t = {{10} \over 3} \Rightarrow J = \left( { - {8 \over 3};{{17} \over 3};{{10} \over 3}} \right).\)

MJ chính là đường thẳng qua M, vuông góc và cắt đường thẳng \(\Delta \); nó có phương trình chính tắc là

                                   \({{x - 1} \over {11}} = {y \over { - 17}} = {{z - 5} \over 5}.\)

g) Gọi (R) là mặt phẳng qua \(\Delta \) (giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( {\alpha '} \right)\)) và vuông góc với mp(P): \(3x{\rm{ }} - y + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}}  = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right).\)

Khi đó (R) đi qua điểm M_ơ = (4 ; 9 ; 0) và có vectơ pháp tuyến

\(\overrightarrow {{n_R}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] \)

       \(= \left( {\left| {\matrix{   { - 1} & 1  \cr   { - 1} & 0  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   1 & { - 2}  \cr   0 & 3  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   { - 2} & { - 1}  \cr   3 & { - 1}  \cr  } } \right|} \right)\)

       \(= \left( {1;3;5} \right).\)

Vậy phương trình của mp(R) là

\(1(x{\rm{ }} - 4){\rm{ }} + {\rm{ }}3\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}9} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}5\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}0} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}5z{\rm{ }} - {\rm{ }}31{\rm{ }} = 0.\)

Sachbaitap.com