Câu 13 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD thứ tự là N và M. Chứng minh rằng:

a.  MN// AB;

b. \(MN = {{CD - AB} \over 2}\)

Giải:

a. Gọi P là trung điểm của AD, nối PM.

Trong tam giác DAB, ta có:

\({{PA} \over {AD}} = {1 \over 2};{{BM} \over {BD}} = {1 \over 2}\)

Suy ra: \({{PA} \over {AD}} = {{BM} \over {BD}}\)

Suy ra: PM // AB (Định lí đảo của định lí Ta-lét)                       (1)

Trong tam giác ACD, ta có: \({{AP} \over {AD}} = {1 \over 2};{{AN} \over {AC}} = {1 \over 2}\)

Suy ra: \({{AP} \over {AD}} = {{AN} \over {AC}}\)

Suy ra: PN // CD ( Định lí đảo định lí Ta-lét)                             (2)

Từ (1) và (2) và theo tiên đề Ơ-clít suy ra P, M, N thẳng hàng.

Vậy MN // CD hay MN // AB.

b. Vì PM là đường trung bình của tam giác DAB nên:

\(PM = {{AB} \over 2}\) (tính chất đường trung bình tam giác)

Vì PN là đường trung bình của tam giác ADC nên:

\(PN = {{CD} \over 2}\) (tính chất đường trung bình tam giác)

Mà PN = PM + MN

Suy ra: MN = PN – PM = \({{CD} \over 2} - {{AB} \over 2} = {{CD - AB} \over 2}\)

Sachbaitap.com