Cho hàm số
\(y = {{mx - 1} \over {x - m}},m \ne \pm 1\)
Gọi \(\left( {{H_m}} \right)\) là đồ thị của hàm số đã cho.
a) Chứng minh rằng với mọi \(m \ne \pm 1\), đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm cố định A và B.
b) Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của \(\left( {{H_m}} \right)\). Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.
Giải
a) Đồ thị \(\left( {{H_m}} \right)\) của hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi
\({y_0} = {{m{x_0} - 1} \over {{x_0} - m}}\)
Với mọi \(m \ne \pm 1\) , đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua điểm \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi phương trình trên (với ẩn số m) nghiệm đúng với mọi \(m \ne \pm 1\).
Với mọi \(m \ne \pm 1\), phương trình trên tương đương với phương trình
\(\eqalign{& {y_0}\left( {{x_0} - m} \right) = m{x_0} - 1 \cr & \Leftrightarrow \left( {{x_0} + {y_0}} \right)m = {x_0}{y_0} + 1 \cr} \)
Phương trình nghiệm đúng với mọi \(m \ne \pm 1\) khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{{x_0} + {y_0} = 0 \hfill \cr {x_0}{y_0} + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{y_0} = - {x_0} \hfill \cr - x_0^2 + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Hệ phương trình tương đương với mọi \(m \ne \pm 1\), đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm cố định A(-1;1) và B(1;-1)
b) Tập hợp các điểm M khi m lấy các giá trị trong tập hợp \(R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\) là đường thẳng y = x bỏ đi hai điểm (-1;-1) và (1;1)
Sachbaitap.com
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục