Câu 4 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Cho hình thang ABCD có AB // CD và AB < CD

Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M và N.

Chứng minh rằng:

a. \({{MA} \over {AD}} = {{NB} \over {BC}}\)

b. \({{MA} \over {MD}} = {{NB} \over {NC}}\)

c. \({{MD} \over {DA}} = {{NC} \over {CB}}\)

HD: Kéo dài các tia DA, CB cắt nhau tại E(h.3), áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác và tính chất của tỉ lệ thức để chứng minh.

Giải:

(xem hình 3)

a. Gọi E là giao điểm của AD và BC.

Trong ∆ EMN, ta có: AB // MN (gt)

Suy ra: \({{EA} \over {MA}} = {{EB} \over {NB}}\) (định lí Ta-lét)

Hay \({{EA} \over {EB}} = {{MA} \over {NB}}\)  (1)

Trong ∆ EDC, ta có: AB // CD (gt)

Suy ra: \({{EA} \over {AD}} = {{EB} \over {BC}}\) (định lí Ta-lét)

Hay \({{EA} \over {EB}} = {{AD} \over {BC}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \({{MA} \over {NB}} = {{AD} \over {BC}} \Rightarrow {{MA} \over {AD}} = {{NB} \over {BC}}\)

b. Ta có: \({{MA} \over {AD}} = {{NB} \over {BC}}\) (câu a)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\({{MA} \over {AD - MA}} = {{NB} \over {BC - NB}} \Rightarrow {{MA} \over {MD}} = {{NB} \over {NC}}\)

c. Ta có: \({{MA} \over {MD}} = {{NB} \over {NC}}\) (gt)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\({{MA} \over {MD}} = {{NB} \over {NC}} \Rightarrow {{MD} \over {MA + MD}} = {{NC} \over {NB + NC}} \)

\(\Rightarrow {{MD} \over {DA}} = {{NC} \over {CB}}\)

Sachbaitap.com