Câu 1. (6 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.
a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over 2}\)
b) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = A{I^2} - {{B{C^2}} \over 4}\) với I là trung điểm của BC;
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là điểm bất kì trong mặt phẳng, chứng minh hệ thức sau:
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}\)
Gợi ý làm bài
a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \)
\(\eqalign{
& = > B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )^2} \cr
& = A{C^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \cr} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = {{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}} \over 2}\)
\(= > \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over 2}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {IB} \)
\( = > \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = A{I^2} - I{B^2} = A{I^2} - {{B{C^2}} \over 4}\) (I là trung điểm của BC)
c) Ta có:
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}\)
\( \Leftrightarrow (M{A^2} - G{A^2}) + (M{B^2} - G{B^2}) + (M{C^2} - G{C^2}) = 3M{G^2}\)
\( \Leftrightarrow (\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {GA)} (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GA} ) + (\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {GB} )(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {GB} ) + (\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {GC} )(\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {MG} {\rm{[}}(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} ) + (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ){\rm{]}} = 3M{G^2}\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow 0 ) = 3M{G^2}\)
\(\Leftrightarrow 3{\overrightarrow {MG} ^2} = 3M{G^2}\) (đúng)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Câu 2. ( 4 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;-1) và B(3;0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.
Gợi ý làm bài
*Gọi \(C({x_C};{y_C})\), ta có: \(\overrightarrow {BC} = ({x_C} - 3;{y_C});\overrightarrow {AB} = (2;1)\)
Vì ABCD là hình vuông
=> \(\left\{ \matrix{
AB \bot BC \hfill \cr
AB = BC \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
2{x_C} - 6 + {y_C} = 0 \hfill \cr
{({x_C} - 3)^2} + y_C^2 = 5 \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& = > \left\{ \matrix{
{y_C} = 6 - 2{x_C} \hfill \cr
{({x_C} - 3)^2} + 36 - 24{x_C} + 4x_C^2 = 5 \hfill \cr} \right. \cr
& = > \left\{ \matrix{
{y_C} = 2 \hfill \cr
{x_C} = 2 \hfill \cr} \right. \vee \left\{ \matrix{
{y_C} = - 2 \hfill \cr
{x_C} = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)
*Gọi \(D({x_D};{y_D})\)
Với C(2;2)
=> \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} - 2 = - 2 \hfill \cr
{y_D} - 2 = - 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_D} = 0 \hfill \cr
{y_D} = 1 \hfill \cr} \right.\)
Với C(4;-2)
=> \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} - 4 = - 2 \hfill \cr
{y_D} + 2 = - 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_D} = 2 \hfill \cr
{y_D} = - 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy C(2; 2), D(0; 1) hay C(4; -2), D(2;-3).
Sachbaitap.net
>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục