Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng.
a) Đặt \(\widehat {xOy} = \alpha ,\widehat {yOz} = \beta ,\widehat {{\rm{zOx}}} = \gamma \) . Chứng minh rằng:
\(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma > - {3 \over 2}\)
b) Gọi \(O{x_1},O{y_1},O{z_1}\) lần lượt là các tia phân giác của các góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng nếu Ox1 và Oy1 vuông góc với nhau thì Oz1 vuông góc với cả Ox1 và Oy1.
Trả lời:
Lấy \({E_1},{E_2},{E_3}\) lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho \(O{E_1} = O{E_2} = O{E_3}\).
Đặt \(\overrightarrow {O{E_1}} = \overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {O{E_2}} = \overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {O{E_3}} = \overrightarrow {{e_3}} \).
a) Do ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng nên\({\left( {{{\overrightarrow e }_1} + {{\overrightarrow e }_2} + {{\overrightarrow e }_3}} \right)^2} > 0\),
tức là
\(\eqalign{ & \overrightarrow e _1^2 + \overrightarrow e _2^2 + \overrightarrow e _3^2 \cr&+ 2\left( {{{\overrightarrow e }_1}.{{\overrightarrow e }_2} + {{\overrightarrow e }_2}.{{\overrightarrow e }_3} + {{\overrightarrow e }_3}.\overrightarrow {{e_1}} } \right) > 0 \cr & \Leftrightarrow 3{\rm{O}}E_1^2 + 2OE_1^2\left( {\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma } \right) > 0 \cr} \)
Vậy \(\cos \alpha + cos\beta + cos\gamma > - {3 \over 2}\)
Dễ thấy
\(\eqalign{ & \overrightarrow {O{E_1}} + \overrightarrow {O{E_2}} //O{x_1} \cr & \overrightarrow {O{E_2}} + \overrightarrow {O{E_3}} //O{y_1} \cr & \overrightarrow {O{E_3}} + \overrightarrow {O{E_1}} //O{z_1} \cr & O{x_1} \bot O{y_1} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {O{E_1}} + \overrightarrow {O{E_2}} } \right)\left( {\overrightarrow {O{E_2}} + \overrightarrow {O{E_3}} } \right) = 0 \cr} \)
hay \({\overrightarrow {O{E_2}} ^2} + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_2}} + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_3}} + \overrightarrow {O{E_2}} .\overrightarrow {O{E_3}} = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{ & \left( {\overrightarrow {O{E_1}} + \overrightarrow {O{E_2}} } \right)\left( {\overrightarrow {O{E_3}} + \overrightarrow {O{E_1}} } \right) \cr & = {\overrightarrow {O{E_1}} ^2} + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_2}} + \overrightarrow {O{E_2}} .\overrightarrow {O{E_3}} + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_3}} \cr} \)
\(= 0\)
Vậy \(O{x_1} \bot O{z_1}\)
Tương tự, ta cũng có \(O{y_1} \bot O{z_1}\)
Sachbaitap.com
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục