Câu 54 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\).Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC (h.39)

Chứng minh rằng :

a. ∆ AOB đồng dạng ∆ DOC

b. ∆ AOD đồng dạng ∆ BOC

c. EA.ED = EB.EC

Giải:

a. Xét ∆ AOB và ∆ DOC, ta có:

 \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\)(gt)

Hay \(\widehat {ABO} = \widehat {OCD}\)

\(\widehat {AOB} = \widehat {DOC}\)  (đối đỉnh)

Vậy ∆ AOB đồng dạng ∆ DOC (g.g)

b. Vì ∆ AOB đồng dạng ∆ DOC nên:

\({{AO} \over {DO}} = {{OB} \over {OC}} \Rightarrow {{AO} \over {OB}} = {{DO} \over {OC}}\)

Xét ∆ AOD và ∆ BOC, ta có:

\({{AO} \over {OB}} = {{DO} \over {OC}}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\)  (đối đỉnh)

Vậy ∆ AOD đồng dạng ∆ BOC (c.g.c)

c. Vì ∆ AOD đồng dạng ∆ BOC nên:

\(\widehat {ADO} = \widehat {BCO}\)

hay \(\widehat {EDB} = \widehat {ECA}\)

Xét ∆ EDB và ∆ ECA, ta có:

\(\widehat E\) chung

\(\widehat {EDB} = \widehat {ECA}\)  (chứng minh trên )

Vậy ∆ EDB đồng dạng ∆ ECA (g.g)

Suy ra: \({{ED} \over {EC}} = {{EB} \over {EA}} \Rightarrow ED.EA = EC.EB\)

Sachbaitap.com