Câu 9.19 trang 59 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao

Chất phóng xạ \({}_{84}^{210}Po\) phát ra tia phóng xạ \(\alpha \) và biến đổi thành chì \({}_{82}^{206}Pb\). Biết chu kì bán ra của pôlôni là 138 ngày.

a) Ban đầu có 1 g chất phóng xạ pôlôni. Hỏi sau bao lâu lượng pôlôni chỉ còn lại 10 mg.

b) Viết phương trình phân rã của pôlôni. Tính năng lượng tỏa ra (theo đơn vị MeV) khi một hạt nhân pôlôni phân rã. Tính năng lượng tổng cộng tỏa ra khi 10 mg pôlôni phân rã hết. Cho biết:

\({m_{Po}} = 209,9828\,\,u;\,\,\,\,\,\,\,{m_{Pb}} = 205,9744\,\,u;\)

\({m_\alpha } = 4,0026{u}\)

c) Tính động năng và tốc độ của hạt \(\alpha \) và hạt nhân con

d) Tính độ phóng xạ ban đầu của 1 mg pôlôni và độ phóng xạ của nó sau 17,25 ngày; 34,5 ngày; 69 ngày và 276 ngày.

e) Biết rằng, ban đầu khối lượng của chất pôlôni là 10 mg và sau 6624 giờ độ phóng xạ của khối chất pôlôni đó bằng \(4,{17.10^{11}}\)Bq. Dựa vào các dữ liệu đó, hãy xác định khối lượng của một hạt \(\alpha \) và số A-vô-ga-đrô, giả định rằng ban đầu chưa biết các số liệu này.

Giải

a) Ta có: \({m \over {{m_0}}} = {{{{10.10}^{ - 3}}} \over 1} = {1 \over {{{10}^2}}} = {e^{ - \lambda t}} \Rightarrow \lambda t = 2\ln 10\)

với \(\lambda  = {{0,693} \over T}\), suy ra t = 917 ngày.

b) Phương trình phân rã:

            \(\eqalign{  & {}_{84}^{210}Po \to {}_2^4He + {}_{84}^{206}Pb  \cr  & \Delta m = \left[ {209,9828 - \left( {205,9744 + 4,0026} \right)u} \right] \cr&\;\;\;\;\;\;\;\,= 0,0058u \cr} \)

Năng lượng tỏa ra khi một hạt nhân pôlôni phân rã:

            \({\rm{W}} = \Delta m.{c^2} = 5,4meV\)

Số hạt nhân pôlôni trong 10mg:

            \(N = {n \over A}{N_A}\approx 2,{873.10^{19}}\) hạt

Năng lượng tổng cộng tỏa ra khi 10 mg pôlôni phân rã hết:

            \({{\rm{W}}_{tc}} = N.{\rm{W}} \approx {\rm{1,55}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^{20}}meV \approx 2,{48.10^7}J\)

c) Kí hiệu \({W_{{d_1}}},{\vec P_1}\) và \({W_{{d_2}}},{\vec P_2}\) tương ứng là động năng và động lượng của hạt \(\alpha \) và của hạt nhân con (chì), ta có:

            \(\eqalign{  & {{\rm{W}}_{tc}} = {{\rm{W}}_{{d_1}}} + {{\rm{W}}_{{d_2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)  \cr  & {{\vec P}_1} + {{\vec P}_2} = \vec 0 \Rightarrow {P_1} = {P_2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \)

Biết \({{\rm{W}}_{\rm{d}}} = {{{p^2}} \over {2m}}\), từ (1) và (2) ta tìm được:

            \(\eqalign{  & {{\rm{W}}_{{{\rm{d}}_1}}} = {{206} \over {206 + 4}}{{\rm{W}}_{tc}} = {{206} \over {210}}{{\rm{W}}_{tc}} \approx 1,{52.10^{20}}V \cr&\;\;\;\;\;\;\;= 2,{43.10^7}J  \cr  & {{\rm{W}}_{{\rm{d}}2}} = {{\rm{W}}_{tc}} - {{\rm{W}}_{{{\rm{d}}_1}}} = 0,{03.10^{20}}MeV \approx 0,{05.10^7}J \cr} \)

Tốc độ hạt \(\alpha \) và hạt nhân con:

            \({v_1} = \sqrt {{{2{W_{{d_1}}}} \over {{m_\alpha }}}}  \approx 2,{55.10^7}m/s;\,\,{v_2} \approx {5.10^5}m/s\)

d) Độ phóng xạ ban đầu của 1 mg  pôlôni :

            \({H_0} = \lambda {N_0} = {{0,693} \over T}.{m \over A}{N_A}\)

Với T = 138 ngày = 138.86400 s; A = 210; \(m = 1mg = {10^{ - 3}}g\), ta có:

            \( \Rightarrow {H_0} = 1,{67.10^{11}}Bq\)  

Độ phóng xạ của nó sau thời gian t: \(H = {H_0}{e^{ - \lambda t}} = {{{H_0}} \over {{2^{{t \over T}}}}}\)

Sau khoảng thời gian \({t_1} = 17,25\) ngày \( = {{138} \over 8} = {T \over 8}\), thì:

            \(H = {{{H_0}} \over {{2^{{1 \over 8}}}}} \approx 1,{53.10^{11}}Bq\)

Sau khoảng thời gian \({t_2} = 34,5\) ngày \( = {{138} \over 4} = {T \over 4}\), thì:

            \(H = {{{H_0}} \over {{2^{{1 \over 4}}}}} \approx 1,{4.10^{11}}Bq\)

Sau khoảng thời gian \({t_3} = 69\) ngày \( = {{138} \over 2} = {T \over 2}\), thì:

            \(H = {{{H_0}} \over {{2^{{1 \over 2}}}}} \approx 1,{18.10^{11}}Bq\)

e) Sau thời gian t = 6624 giờ  = 276 ngày = 2T, tức là sau hai chu kì  bán rã thì khối lượng của khối chất pôlôni còn lại bằng:

            \(m = {{{m_0}} \over {{2^{{1 \over T}}}}} = {{{m_0}} \over {{2^2}}} = {{10} \over 4} = 2,5mg\)

Số hạt nhân pôlôni còn lại là N (có trong 2,5 mg) liên hệ với độ phóng xạ H theo hệ thức \(H = \lambda N.\) Suy ra:

            \(N = {H \over \lambda } = {{H.T} \over {0,693}}\)

            \(\,\,\, = {{4,{{17.10}^{11}}.3312.3600} \over {0,693}} = 7,{17.10^{18}}\) hạt nhân

Từ đó khối lượng của một hạt nhân pôlôni là:

            \({m_{Po}} = {m \over N} = 3,{49.10^{ - 22}}kg\)

Biết \({{{m_\alpha }} \over {{m_{Po}}}} = {4 \over {210}}\), ta tìm được khối lượng của một hạt \(\alpha \) là:

            \({m_\alpha } = {4 \over {210}}{m_{Po}} = 6,{65.10^{ - 24}}kg\)

Trong 2,5 mg pôlôni có N hạt nhân. Vì vậy, trong 1 mol pôlôni tức là 210 g pôlôni có số hạt nhân là:

            \({{7,{{17.10}^{18}}.210} \over {2,{{5.10}^{ - 3}}}} \approx 6,{02.10^{23}}\) hạt nhân

Đó chính là số A-vô-ga-đrô.

Sachbaitap.com