Giải Toán 7 trang 118 Cánh Diều tập 2

Bài 1 trang 118 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có H là trực tâm, H không trùng với đỉnh nào của tam giác. Nêu một tính chất của cặp đường thẳng:

a) AH và BC;                              b) BH và CA;                              c) CH và AB.

Phương pháp:

Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao của tam giác đó.

Lời giải:

a) H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

b) H là trực tâm của tam giác ABC nên BH ⊥ CA.

c) H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB.

Bài 2 trang 118 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC. Vẽ trực tâm H của tam giác ABC và nhận xét vị trí của nó trong các trường hợp sau:

a) Tam giác ABC nhọn;

b) Tam giác ABC vuông tại A;

c) Tam giác ABC có góc A tù.

Phương pháp:

Vẽ trực tâm H của tam giác ABC trong từng trường hợp và nhận xét.

(Trực tâm là giao điểm của ba đường cao của tam giác đó).

Lời giải:

a) Ta có hình vẽ sau:

Ta thấy H nằm trong tam giác ABC.

b) Ta có hình vẽ sau:

Ta thấy trong tam giác ABC: AB ⊥ AC, AC ⊥ AB.

Do đó AB và AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A nên A là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó A trùng H.

c) Ta có hình vẽ sau:

Ta thấy H nằm ngoài tam giác ABC.

Bài 3 trang 118 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác nhọn ABC và điểm D nằm trong tam giác. Chứng minh rằng nếu DA vuông góc với BC và DB vuông góc CA thì DC vuông góc với AB. 

Phương pháp:

Ba đường cao của tam giác giao nhau tại một điểm.

Lời giải:

Tam giác ABC có DA ⊥ BC, DB ⊥ CA.

Mà DA cắt DB tại D nên D là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó DC ⊥ AB.

Bài 4 trang 118 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác nhọn ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H, \(\widehat {HCA} = 25^\circ \). Tính \(\widehat {BAC}\)và \(\widehat {HBA}\).

Phương pháp:

Tổng hai góc nhọn trong một tam giác vuông bằng 90°.

Lời giải:

Bài 5 trang 118 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Trong Hình 139, cho biết AB // CD, AD // BC; H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và ACD. Chứng minh AK // CH và AH // CK.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất: 

+ Nếu \(a//b; a \bot c \) thì \(b \bot c\)

+ Nếu \(a \bot c; b \bot c\) thì \(a//b\)

Lời giải:

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB và AH ⊥ BC.

Do K là trực tâm của tam giác ADC nên AK ⊥ CD và CK ⊥ AD.

Do AB // CD nên AK ⊥ AB.

Mà CH ⊥ AB nên AK // CH.

Do AD // BC nên AH ⊥ AD.

Mà CK ⊥ AD nên AH // CK.

Bài 6 trang 118 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;

b) Nếu tam giác ABC có hai điểm trong bốn điểm G, H, I, O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

Phương pháp:

a) Trong tam giác đều: đường trung tuyến đồng thời là đường cao và đường phân giác.

b) Chứng minh hai trong bốn điểm G, H, I, O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều: Chứng minh G và O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải:

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

b)

Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến BC, CA, AB.

Khi đó HN ⊥ AC.

Mà H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

HN ⊥ AC, BH ⊥ AC nên B, H, N thẳng hàng.

Xét ∆APH vuông tại P và ∆CMH vuông tại M có:

Xét ∆HNA vuông tại N và ∆HNC vuông tại N có:

HN chung.

HA = HC (chứng minh trên).

Do đó ∆HNA = ∆HNC (2 cạnh góc vuông).

Suy ra AN = CN (2 cạnh tương ứng).

Khi đó N là trung điểm của AC.

HN ⊥ AC tại trung điểm N của AC nên HN là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Mà B, H, N thẳng hàng nên B thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Do đó BA = BC.

Thực hiện tương tự, ta chứng minh được CA = CB.

Do đó AB = BC = CA.

Vậy tam giác ABC đều.

Sachbaitap.com