Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 trang 134 SGK Toán 9 tập 2 - Bài tập ôn cuối năm - Phần hình học

Bài 1 trang 134 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Chu vi hình chữ nhật \(ABCD\) là \(20cm\). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đường chéo \(AC\).

Lời giải:

Gọi \(x\) (\(cm\)) là độ dài cạnh \(AB\) 

Vì  nửa chu vi hình chữ nhật đã cho là: \(20:2=10 \, cm\) nên \(AB+BC=10cm\) suy ra  \(BC=10 – x \, (cm).\)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(ABC\), ta có:

\(\eqalign{
& A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \cr
& = {x^2} + {\left( {10 - x} \right)^2} \cr
& = 2\left( {{x^2} - 10{\rm{x}} + 50} \right) \cr
& = 2\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 25} \right] \cr}\) 

Vì \((x-5)^2 \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow A{C^2} = 2{\left( {x - 5} \right)^2} + 50 \ge 50, \forall x \in \mathbb{R}\)

Dấu "=" xảy ra khi : \(x – 5 = 0 ⇔ x = 5\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của đường chéo AC là \(\sqrt{50} = 5\sqrt2\) (\(cm\))

Bài 2 trang 134 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Tam giác \(ABC\) có góc \(\widehat B = {45^0},\) góc \(\widehat C = {30^0}.\) Nếu \(AC = 8\) thì \(AB\) bằng:

(A) \(4\)               (B) \(4\sqrt2\)                        

(C) \(4\sqrt3\)           (D) \(4\sqrt6\)

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Lời giải:

Cách 1: 

Hạ \(AH \bot BC\) \((H \in BC).\)

Trong tam giác vuông \(HAC\) \((\widehat H = {90^0})\)  có  \(\widehat{C}=30^0.\)

\(\Rightarrow AH = AC.\sin 30^0=8.\dfrac {1}2 = 4(cm).\)

Trong tam giác vuông \(HAB\) \((\widehat H = {90^0})\)  có  \(\widehat{B}=45^0.\)

\(\Rightarrow \sin 45^0=  \dfrac{AH}{AB} \Rightarrow AB= \dfrac{AH}{sin 45^0}= 4.\dfrac {\sqrt{2}}{2} = 4.\sqrt{2}(cm).\)

Chọn đáp án B.

Cách 2: 

Hạ \(AH \bot BC\) \((H \in BC).\)

Trong tam giác vuông \(HAC\) \((\widehat H = {90^0})\)  có  \(\widehat{C}=30^0.\)

\(\Rightarrow AH = AC.\sin 30^0=8.\dfrac {1}2 = 4(cm).\)

Xét  \(∆HAB\) vuông, có \( \widehat{B}=45^0\) là tam giác vuông cân tại \(H\) có:

\(AH = BH = 4\) \((cm).\)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(HAB\) ta có:

\(AB = \sqrt {H{A^2} + H{B^2}}  = \sqrt {{4^2} + {4^2}}  = \sqrt {32}  = 4\sqrt 2\) 

Vậy \(AB = 4\sqrt2\) \(cm.\) 

Chọn đáp án B. 

Bài 3 trang 134 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(C\) có đường trung tuyến \(BN\) vuông góc với đường trung tuyến \(CM,\) cạnh \(BC = a.\) Tính độ dài đường trung tuyến \(BN.\)

Lời giải:

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC,\) ta có: \(\displaystyle BG = {2 \over 3}BN.\)  

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(CNB\) có đường cao \(CG\) ta có:

\(\eqalign{
& B{C^2} = BN.BG = BN.{2 \over 3}BN = {2 \over 3}B{N^2} \cr
& \Rightarrow B{N^2} = {3 \over 2}B{C^2} = {{3{a^2}} \over 2} \cr
& \Rightarrow BN = \sqrt {{{3{{\rm{a}}^2}} \over 2}} = {{a\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }} = {{a\sqrt 6 } \over 2}. \cr}\) 

Vậy \(\displaystyle BN = {{a\sqrt 6 } \over 2}.\) 

Bài 4 trang 134 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Nếu tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(C\) và có \(\displaystyle \sin {\rm{A}} = {2 \over 3}\) thì \(tan B\) bằng:

(A) \(\displaystyle {3 \over 5}\)            (B) \(\displaystyle {{\sqrt 5 } \over 3}\)            (C) \(\displaystyle{2 \over {\sqrt 5 }}\)         (D) \(\displaystyle {{\sqrt 5 } \over 2}\)                

Hãy chọn câu trả lời đúng. 

Lời giải:

Trong tam giác vuông \(ABC\) \(\left( {\widehat C = {{90}^0}} \right)\), ta có:

\(\displaystyle \sin {\rm{A}} = {{BC} \over {AB}} = {2 \over 3} \Rightarrow AB = {3 \over 2}BC\) 

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC, ta có: 

\(\eqalign{
& AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {{3 \over 2}BC} \right)}^2} - B{C^2}} \cr
& AC = \sqrt {{5 \over 4}B{C^2}} = {{BC\sqrt 5 } \over 2} \cr} \)

Ta có:  \(\displaystyle \tan B = {{AC} \over {BC}} = {{\displaystyle BC{{\sqrt 5 } \over \displaystyle 2}} \over {BC}} = {{\sqrt 5 } \over 2}\)  

Chọn đáp án D.

Bài 5 trang 134 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có \(AC = 15cm.\) Đường cao \(CH\) chia \(AB\) thành hai đoạn \(AH\) và \(HB.\) Biết \(HB = 16cm.\) Tính diện tích tam giác \(ABC.\) 

Lời giải:

Đặt \(AH = x\) (cm) \((x > 0).\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) có đường cao \(AH\) ta có:

+) \(AC^2 = AB.AH\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {15^2} = \left( {x + 16} \right)x\\
\Leftrightarrow {x^2} + 16x - 225 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 9} \right)\left( {x + 25} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 9 = 0\\
x + 25 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 9\;\;\left( {tm} \right)\\
x = - 25\;\;\left( {loại} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow AH = 9\;cm.
\end{array}\)

+) \(HC^2 = AH. HB = 9. 16 = 144\) 

\(\Rightarrow\)\(HC=12\) \((cm).\)

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(\displaystyle S = {1 \over 2}AB.CH = {1 \over 2}.(16+9).12 = 150(c{m^2}).\)

Bài 6 trang 134 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Một hình chữ nhật cắt đường tròn như hình 121 biết \(AB = 4, BC = 5, DE = 3\) (với cùng đơn vị đo).

Độ dài \(EF\) bằng: 

(A) \(6\)                (B) \(7\)                (C) \(\displaystyle {{20} \over 3}\)             (D) \(8\)

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Lời giải:

Gọi \(O\) là tâm của đường tròn. Qua \(O,\) kẻ đường vuông góc với \(BC,\) cắt \(DE\) ở \(P\) và \(BC\) ở \(Q.\)

Suy ra \(P;Q\) lần lượt là trung điểm của \(EF\) và \(BC\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).

Ta có: \(BQ =\displaystyle  {1 \over 2}BC = {5 \over 2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow AQ = AB + BQ = 4 + {5 \over 2} = {{13} \over 2}.\)

Vì \(ADPQ\) là hình chữ nhật nên \(AQ = DP.\)

\(⇒ EP = DP – DE = AQ – DE\) 

hay  \(\displaystyle EP = {{13} \over 2} - 3 = {7 \over 2}\)

Mà \(\displaystyle EF = 2EP = 2.{7 \over 2} = 7.\) 

Chọn đáp án B.

Sachbaitap.com