Bài 27, 28, 29, 30, 31 trang 58, 59 SGK Toán 9 tập 1 - Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

Bài 27 trang 58 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho hàm số bậc nhất  \(y = ax + 3\)

a) Xác định hệ số góc \(a\), biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm \(A(2; 6)\).

b) Vẽ đồ thị của hàm số. 

Lời giải:

a)  \(y = ax + 3\)   \((1)\) 

Theo giả thiết đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(2; 6)\). Thay \(x=2,\ y=6\) vào  \((1)\), ta được:

\( 6=2.a+3 \Leftrightarrow 6-3=2a\)

                      \(\Leftrightarrow 3=2a\)

                      \(\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}\)

Vậy \(a=\dfrac{3}{2}\),

b)  Vẽ đồ thị hàm số:   \(y=\dfrac{3}{2}x+3\)

Cho \(x=2 \Rightarrow y=\dfrac{3}{2}.2+3=3 +3 =6 \Rightarrow A(2; 6)\).

Cho \(y=0 \Rightarrow 0=\dfrac{3}{2}.x+3 \Rightarrow x=-2 \Rightarrow B(-2; 0)\).

Đường thẳng đi qua hai điểm \(A(2;6)\) và \(B(-2;0)\) là đồ thị hàm số \(y=\dfrac{3}{2}x+3\).

Đồ thị được vẽ như hình bên. 

Bài 28 trang 58 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho hàm số  \(y = -2x + 3.\) 

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tính góc tạo bởi đường thẳng \(y = -2x + 3\) và trục \(Ox\) (làm tròn đến phút).

Lời giải:

a) Hàm số  \(y = -2x + 3.\)

Cho \(x=0 \Rightarrow y=-2.0+3=0+3=3 \Rightarrow A(0; 3)\)

Cho  \(y=0 \Rightarrow 0=-2.x+3 \Leftrightarrow  x=\dfrac{3}{2}  \Rightarrow B{\left(\dfrac{3}{2}; 0\right)}\)

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \(A(0; 3)\) và  \(B{\left(\dfrac{3}{2}; 0\right)}\) ta được đồ thị hàm số \(y = -2x + 3.\). 

Đồ thị được vẽ như hình bên. 

b) Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(y = -2x + 3\) và trục \(Ox  \Rightarrow \alpha = \widehat{ABx}\).

Xét tam giác vuông \(OAB\) vuông tại \(O\), ta có: 

                                 \(\tan \widehat {OBA} = \dfrac{OA}{OB} = \dfrac{3}{\dfrac{3}{2}}=2\)

Thực hiện bấm máy tính, ta được:

\(\widehat {ABO} \approx {63^0}26'\)

Lại có \(\widehat {ABO}\) và \(\widehat {ABx}\) là hai góc kề bù, tức là:

                              \(\widehat {ABO} + \widehat {ABx} =180^0\)

                     \(\Leftrightarrow \widehat {ABx}=180^0 -\widehat {ABO} \)

                    \(\Leftrightarrow \widehat {ABx} \approx 180^0 -{63^0}26' \)

                     \(\Leftrightarrow \widehat {ABx} \approx 116^0 34'\)

Vậy \(\alpha  \approx {116^0}34'\).

Bài 29 trang 59 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Xác định hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) trong mỗi trường hợp sau: 

a) \(a = 2\) và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(1,5\).

b) \(a = 3\) và đồ thị của hàm số đi qua điểm \(A(2; 2)\).

c) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng \(y = \sqrt 3 x\) và đi qua điểm \(B\left( {1;\sqrt 3  + 5} \right)\)

Lời giải:

 Hàm số đã cho là \(y = ax + b\).  \((1)\)

a) Theo giả thiết \(a=2 \Rightarrow y=2x+b.\)   \((2)\)

Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(1,5\) nên đồ thị hàm số đi qua \((1,5; 0)\). Thay \(x=1,5,\ y=0\) vào \((2)\), ta được:

\(0=2.1,5+b\)

\(\Leftrightarrow  0=3+b\)

\( \Leftrightarrow b=-3\)

Vậy hàm số đã cho là \(y = 2x - 3.\)

b) Theo giả thiết \(a=3 \Rightarrow y=3x+b\)  \((3)\)

 Vì đồ thị đi qua điểm \(A(2; 2)\). Thay \(x=2,\ y=2\) vào \((3)\), ta được:

\(2=3.2+b\)

\(\Leftrightarrow 2=6+b\)

\(\Leftrightarrow 2-6=b\)

\(\Leftrightarrow b=-4\)

Vậy hàm số đã cho là \(y = 3x - 4.\)

c) Vì đồ thị hàm số đã cho \(y=ax+b\) song song với đường thẳng \(y=\sqrt 3 x\) nên \(a=\sqrt 3; b\ne 0\).

Do đó hàm số đã cho có dạng: \(y = \sqrt 3 x + b\) \((4)\)

Vì đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \(B\left( {1;\sqrt 3  + 5} \right)\), nên thay \(x=1,\ y=\sqrt 3  + 5\) vào  \((4)\), ta được:

\(\sqrt 3  + 5 = \sqrt 3 .1 + b\)

\(\Leftrightarrow \sqrt 3  + 5- \sqrt 3=b\).

\(\Leftrightarrow (\sqrt 3 - \sqrt 3) + 5=b\).

\(\Leftrightarrow b=5\) (thỏa mãn)

Vậy hàm số đã cho là \(y = \sqrt 3 x + 5\)

Bài 30 trang 59 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm số sau: 

\(y = \dfrac{1}{2}x + 2\);                                      \(y = -x + 2\)

b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng \(y = \dfrac{1}{2}x + 2\)  và  \(y = -x + 2\) với trục hoành theo thứ tự là \(A, B\) và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là \(C\). Tính các góc của tam giác \(ABC\) (làm tròn đến độ).

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác \(ABC\) (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét)

Lời giải:

a) Đồ thị được vẽ như hình dưới:

+) Hàm số \(y = \dfrac{1}{2}x + 2\):     

     Cho \(x=0 \Rightarrow y=\dfrac{1}{2}.0 + 2=0+2=2 \Rightarrow M(0; 2)\).

     Cho \(y=0 \Rightarrow 0=\dfrac{1}{2}.x + 2 \Rightarrow x=-4 \Rightarrow N(-4; 0)\).

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{2}x + 2\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(M(0; 2)\) và \(N(-4; 0)\)

+) Hàm số  \(y = -x + 2\):

     Cho \(x=0 \Rightarrow y=0 + 2=2 \Rightarrow M(0; 2)\).

     Cho \(y=0 \Rightarrow 0=-x + 2 \Rightarrow x= 2 \Rightarrow P(2; 0)\).

Đồ thị hàm số \(y = -x + 2\)   là đường thẳng đi qua hai điểm \(M(0; 2)\) và \(P(2; 0)\) 

b) +) Hoành độ điểm \(C\) là nghiệm của phương trình:

\(\dfrac{1}{2}x+2=-x+2\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x+x=2-2\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}x=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

Do đó tung độ của \(C\) là: \(y=0+2=2\). Vậy \(C(0; 2) \equiv M\).

 +) Vì \(A\) thuộc trục hoành \(Ox\) nên tung độ của \(A\) bằng \(0\). Thay \(y=0\) vào \(y=\dfrac{1}{2}x+2\), ta được:

\(0=\dfrac{1}{2}x+2\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x=-2\)

\(\Leftrightarrow x=-4\) 

Vậy \(A(-4; 0) \equiv N\).

+) Vì \(B\) thuộc trục hoành \(Ox\) nên tung độ của \(B\) bằng \(0\). Thay \(y=0\) vào \(y=-x+2\), ta được:

\(0=-x+2\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

Vậy \(B(2; 0) \equiv P\).

Ta có được \(OA=4,\ OB=2,\ OC=2,\)\( AB=OA+OB=4+2=6\).

Ta có: \(OB=OC\) nên tam giác \(COB\) vuông cân tại \(O\) (\(O\) là gốc tọa độ) nên: \(\widehat{B}=45^o\)

Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác đối với tam giác \(AOC\) vuông tại \(O\), ta có:

                         \(\tan A=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)

Thực hiện bấm máy tính, ta được:  \(\widehat{A} \approx 27^o\)

Xét \(\Delta{ABC}\) có: \(\widehat{A}+ \widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)

                         \(\Leftrightarrow \widehat{C}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}\)

                         \(\Leftrightarrow  \widehat{C} \approx 180^o-27^o-45^o\)

                         \(\Leftrightarrow  \widehat{C} \approx 108^o\)

c) Ta có: \(AB = 6 (cm)\)

Xét tam giác vuông \(OAC\) vuông tại \(O\), theo định lí Py-ta-go, ta có:

                 \(AC^2=AO^2+OC^2=4^2+2^2=16+4=20\)

             \(\Rightarrow AC =\sqrt{20}=2\sqrt{5}(cm)\)

Xét tam giác vuông \(OBC\) vuông tại \(O\), ta có:

                  \(BC^2=BO^2+OC^2=2^2+2^2=4+4=8\)

              \(\Rightarrow BC =\sqrt 8 = 2\sqrt{2}(cm)\)

\(\Delta{OAC}\) có \(CO \bot AB\) nên \(CO\) là đường cao ứng với cạnh \(AB\).

Chu vi tam giác là:

       \(P=AB+BC+AC=6+2\sqrt{5}+2\sqrt{2} (cm)\)

Diện tích tam giác là:

       \(S=\dfrac{1}{2}.OC.AB=\dfrac{1}{2}.2.6=6 (cm^2)\) 

Bài 31 trang 59 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

a) Vẽ đồ thị của hàm số :

\(y = x + 1;\,\,\,y = \dfrac{1}{\sqrt 3 }x + \sqrt 3 ;\,\,\,y = \sqrt 3 x - \sqrt 3\)

b) Gọi  \(\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\,\gamma \)  lần lượt là các góc tạo bởi các đường thẳng trên và trục Ox.

Chứng minh rằng \(tg\alpha  = 1,\,\,\,tg\beta  = \dfrac{1}{\sqrt 3 };\,\,\,tg\gamma  = \sqrt 3\)

Tính số đo các góc \(α, β, \gamma. \)

Phương pháp:

a) Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax+b,\ (a \ne 0)\): Đồ thị hàm số \(y=ax+b \, \, (a\neq 0)\) là đường thẳng:

+) Cắt trục hoành tại điểm \(A(-\dfrac{b}{a}; \, 0).\)  

+) Cắt trục tung tại điểm \(B(0;b).\)

Xác định tọa độ hai điểm \(A\) và \(B\) sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số  \(y=ax+b \, \, (a\neq 0).\)

b) Góc tạo bởi đường thẳng \(y=a x+b \, \ (a \neq 0)\) là góc \(\alpha \) ta có: \(tan \alpha = a.\)

+) Với \(a<0\), góc \(\alpha\) là góc tù.

+) Với \(a>0\), góc \(\alpha\) là góc nhọn.

Hoặc sử dụng công thức lượng giác trong tam giác vuông:

      \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\) khi đó: \(tan B = \dfrac{AC}{AB} \)

Lời giải:

a)  

+ Hàm số \(y = x + 1\)

   Cho \(x=0 \Rightarrow y=0+1=1 \Rightarrow A(0; 1)\)

   Cho \(x=-1 \Rightarrow y=-1+1=0 \Rightarrow B(-1; 0)\)

Đồ thị hàm số \(y = x + 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A(0; 1)\) và \(B(-1; 0)\)

+ Hàm số \(y = \dfrac{1}{\sqrt 3 }x + \sqrt 3\)

   Cho \(x=-3 \Rightarrow y = \dfrac{1}{\sqrt 3 }.(-3) + \sqrt 3=0  \Rightarrow D(-3; 0)\)

   Cho \(x=0 \Rightarrow y = \dfrac{1}{\sqrt 3 }.0 + \sqrt 3 =\sqrt 3 \Rightarrow C(0; \sqrt 3)\)

Đồ thị hàm \(y = \dfrac{1}{\sqrt 3 }x + \sqrt 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(D(-3; 0)\) và \(C(0; \sqrt 3)\)

+ Hàm số \(y = \sqrt 3 x - \sqrt 3\)

   Cho \(x=0 \Rightarrow y = \sqrt 3 .0 - \sqrt 3=-\sqrt 3 \Rightarrow E(0; -\sqrt 3)\)

   Cho \(x=1 \Rightarrow y = \sqrt 3 .1 - \sqrt 3=0 \Rightarrow F(1; 0)\)

Đồ thị hàm số \(y = \sqrt 3 x - \sqrt 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(E(0; -\sqrt 3)\) và \(F(1; 0)\)

Sachbaitap.com