Loigiaihay.com 2022

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43 trang 93, 94, 95, 96 SGK Toán 9 tập 1 - Ôn tập chương I – Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài 33, 34 trang 93; bài 35, 36, 37 trang 94; bài 38, 39, 40 trang 95; bài 41, 42, 43 trang 96 sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1 bài Ôn tập chương I – Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông. Bài 35 Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng 19 : 28. Tìm các góc của nó

Bài 33 trang 93 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:

a) Trong hình 41, sinα bằng

(A) \( \displaystyle{5 \over 3}\)                     (B) \( \displaystyle{5 \over 4}\)                    (C) \( \displaystyle{3 \over 5}\)                    (D) \( \displaystyle{3 \over 5}\)

b)  Trong hình 42, sin Q bằng

(A) \( \displaystyle{{P{\rm{R}}} \over {R{\rm{S}}}}\)              (B) \( \displaystyle{{P{\rm{R}}} \over {QR}}\)               (C) \( \displaystyle{{P{\rm{S}}} \over {S{\rm{R}}}}\)                (D) \( \displaystyle{{S{\rm{R}}} \over {Q{\rm{R}}}}\) 

c) Trong hình 43, cos 30° bằng

(A) \( \displaystyle{{2{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}\)                (B) \( \displaystyle{a \over {\sqrt 3 }}\)               (C) \( \displaystyle{{\sqrt 3 } \over 2}\)               (D) \( \displaystyle2\sqrt 3 {a^2}\)   

 

Lời giải: 

a) 

Ta có: \( \displaystyle\sin \alpha  = \dfrac{3}{5}.\)

Chọn (C) 

b) 

Xét \( \displaystyle\Delta QPR\) vuông tại R ta có: \( \displaystyle\sin Q = \dfrac{PR}{PQ}.\)

Xét \( \displaystyle\Delta RQS\) vuông tại S ta có: \( \displaystyle\sin Q = \dfrac{RS}{RQ}.\)

Chọn (D)

c) Chọn (C) vì:  \( \displaystyle\cos {30^0} = {{\sqrt 3 a} \over {2a}} = {{\sqrt 3 } \over {2}}.\)  

Bài 34 trang 93 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:

a) Trong hình 44, hệ thức nào trong các hệ thức sau là đúng

(A) \( \displaystyle \sin \alpha  = {b \over c}\)                   (B) \( \displaystyle {\mathop{\rm cotg}\nolimits} \alpha  = {b \over c}\) 

(C) \( \displaystyle tg \alpha  = {a \over c}\)                      (D) \( \displaystyle {\mathop{\rm cotg}\nolimits} \alpha  = {a \over c}\)

b) Trong hình 45, hệ thức nào trong các hệ thức sau không đúng?

(A) \( \displaystyle \sin^2 α + cos^2 α = 1\);

(B) \( \displaystyle \sin α = cos β\);

(C) \( \displaystyle \cos β = sin(90°- α)\);

(D) \( \displaystyle tg \alpha  = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}\) 

Lời giải:

a) 

Áp dụng công thức lượng giác ta có:

\(\sin \alpha  = \dfrac{a}{b};\;\;\cos\alpha  = \dfrac{c}{b};\;\tan\alpha  = \dfrac{a}{c};\;\;\cot\alpha  = \dfrac{c}{a}.\)

Vậy C đúng.

Chọn C. 

b) 

Chọn C sai vì: \(\cosβ = \sin(90°-β)\)  nên \(cos β = sin(90°- α)\) là sai, điều này chỉ đúng khi \( β = α=45^o.\)

Bài 35 trang 94 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng 19 : 28. Tìm các góc của nó.

Phương pháp: 

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn: \(\tan \alpha = \dfrac{cạnh \, \, đối}{cạnh \, \, kề}.\)

Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng \(90^o.\)

Lời giải:

 

Giả sử tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB:AC=19:28\). Ta đi tính góc B và góc C.

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: 

\(\displaystyle \tan C  ={{AB} \over {AC}}= {{19} \over {28}} \Rightarrow \widehat C  \approx {34^0}10'\)

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat B+\widehat C=90^0\) suy ra \(\widehat B=90^0-\widehat C=90° - 34°10’ = 55°50’\)

Vậy các góc nhọn của tam giác vuông đó có độ lớn là: \( 34°10’;\, \, 55°50’.\) 

Bài 36 trang 94 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho tam giác có một góc bằng 45°. Đường cao chia một cạnh kề với góc đó thành các phần 20cm và 21cm. Tính cạnh lớn trong hai cạnh còn lại (lưu ý có hai trường hợp hình 46 và hình 47)

Lời giải: 

+) Xét hình 46, ta có:

\( BH < HC\,(20cm<21cm) ⇒ AB < AC\) (đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn)

\(∆HAB\) vuông tại \(H\) có \(\widehat{ABH} = 45°\) nên là tam giác vuông cân \(⇒ AH = BH = 20 \, (cm).\)

\(∆HAC\) vuông tại \(H,\) theo định lí Py-ta-go có:

\(AC^2=AH^2+HC^2=21^2+20^2=841=29^2.\)

\( \Rightarrow AC = \sqrt {{29^2}}  = 29(cm)\)

Vậy cạnh lớn hơn là \(AC=29cm\)

+) Xét hình 47, ta có:

\( BH > HC\,(21cm>20cm) ⇒ AB > AC\) (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn)

\(∆ABH\) vuông tại \(H\) có  \(\widehat{B} = 45°\) nên là tam giác vuông cân \(⇒ AH = BH = 21 \, (cm)\)

Theo định lý Py-ta-go trong tam giác vuông \(ABH\) ta có:

\( AB = \sqrt {{{AH}^2} + {{BH}^2}}\)\(= \sqrt {{{21}^2} + {{21}^2}}  = 21\sqrt 2  \approx 29,7(cm).\)

Vậy cạnh lớn hơn là \(AB=29,7cm\).

Bài 37 trang 94 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?

Phương pháp:

+) Chứng minh tam giác có tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông. 

+) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính các góc của tam giác ABC.

+) Áp dụng hệ thức lượng đối với tam giác vuông có đường cao để tính đường cao của tam giác đó.

+) Diện tích tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\): \(S=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}AB.AC.\) 

Lời giải:

a) Xét ∆ABC có \(AB^2+AC^2={6^2} + 4,{5^2} = 36 + 20,25\)\( = 56,25 = 7,{5^2}=BC^2.\)

\(\Rightarrow ∆ABC\) vuông tại \(A\)  (định lý Py-ta-go đảo).

 \(\eqalign{&Ta \, \, có: tan B = {{AC} \over {AB}} = {{4,5} \over 6} = 0,75 \Rightarrow \widehat B \approx {37^0} \cr & \Rightarrow \widehat C = {90^0} - \widehat B = {53^0}. \cr} \)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, có:

\(AH.BC = AB.AC\)

\( \displaystyle \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{4,5.6} \over {7,5}} = 3,6(cm).\)

b)

Kẻ \(MK \bot BC\) tại \(K.\)

Ta có: \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC\) 

\(S_{MBC}=\dfrac{1}{2}MK.BC\)

Từ đó, \( S_{ABC}=S_{MBC} \Leftrightarrow MK= AH=3,6cm.\)

Do đó \(M\) nằm trên hai đường thẳng song song cách \(BC\) một khoảng bằng \(3,6 cm\) (hình vẽ).

Bài 38 trang 95 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như trong hình 48. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét)

Phương pháp: 

+) Áp dụng: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối.

Lời giải: 

Ta có: \(\widehat {IKB} = {50^0} + {15^0} = {65^0}\) 

\(∆IBK\) vuông tại \(I\) nên \(IB = IK. \tan \widehat{IKB} = 380 . tan 65° ≈ 814,9 (m).\)

\(∆IAK\) vuông tại \(I\) nên \(IA = IK.\tan \widehat{IKA} = 380 . tan 50° ≈ 452,9 (m).\)

Khoảng cách giữa hai thuyền là: \(AB = IB – IA ≈ 814,9 - 452,9 = 362 (m).\)

Bài 39 trang 95 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực trong hình 49 (làm tròn đến mét)

Phương pháp: 

+) Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song.

+) Dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn. 

Lời giải:

Giả sử hai cọc được đặt ở 2 điểm \(B\) và \(N\) trong hình vẽ. 

Ta có: \(MN// AC\) (vì cùng vuông với \(AB\)) \( \Rightarrow \widehat{BNM}=\widehat{BCA}=50^0\) (hai góc đồng vị).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = AC.\tan50^o = 20.\tan50^o.\)

\(\Rightarrow BM=AB-AM=20\tan50^o - 5 \approx 18,835 \,m.\)

Xét tam giác \(BMN\) vuông tại \(M\) ta có: \(\sin \widehat {BNM}=\dfrac {BM}{BN}\)\(\Rightarrow BN = \dfrac{{BM}}{{\sin 50^o}} = \dfrac{{18,835}}{{\sin 50^o}} \approx 24,59\;m.\)

Vậy khoảng cách giữa hai cọc là: \(BN \approx 24,59\;m.\)

Bài 40 trang 95 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Tính chiều cao của cây trong hình 50 (làm tròn đến đề - xi – mét)

Phương pháp:

+) Chiều cao của cây bằng chiều cao của người quan sát + khoảng cách tử đỉnh đầu của người đó đến ngọn cây. 

Lời giải:

 

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A ta có: 

\(AC = AB.\tan {35^o} \approx 30.0,7 = 21\,m\)

Chiều cao của cây là:

\(A'C=AA' + AC≈ 1,7 + 21\)\(\, = 22,7 \,m=227\,dm.\)

Bài 41 trang 96 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Tam giác ABC vuông tại \(C\) có \(AC = 2cm, BC = 5cm,\) \(\widehat {BAC} = x,\widehat {ABC} = y\). Dùng các thông tin sau (nếu cần) để tìm \(x – y\):

\(\sin 23°36’ ≈ 0,4;\)

\(\cos66°24’ ≈ 0,4;\)

\(tg21°48’ ≈ 0,4.\) 

Phương pháp:

+) Dựa vào các tỉ số lượng giác của góc nhọn. 

+) Tổng hai góc nhọn của tam giác bằng \(90^0.\)

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: \(\displaystyle \tan y =\dfrac{AC}{BC}= {2 \over 5} = 0,4\) nên \(y ≈ 21°48’.\)

Vì tam giác ABC vuông tại C nên \(x+y=90^0\) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông).

Do đó: \(x = 90° - y ≈ 68°12’.\) 

Vậy: \(x – y ≈ 68°12’ - 21°48’ ≈ 46°24’.\)

Bài 42 trang 96 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Ở một cái thang dài \(3m\) người ta ghi: “ Để đảm bảo an toàn khi dùng thang phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ \(60^0\) đến \(70^0\)”. Đo góc thì khó hơn đo độ dài. Vậy hãy cho biết: Khi dùng thang đó chân thang phải đặt cách tường bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn?

Phương pháp:

+) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.

+) Hoặc: Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân côsin góc kề.

Lời giải:

Kí kiệu như hình vẽ. 

Cách 1:

Xét tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(C\). Ta có: \(AC=AB.\cos A\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông) 

Vì \(60^0\le \widehat A \le 70^0\) nên ta xét: 

+) Khi \(\widehat {CAB}=60^0\) thì \(AC = AB \cos A = 3\cos60^0 = 1,5 (m)\)

+) Khi \(\widehat {CAB}=70^0\) thì \(AC =  AB\cos A = 3\cos70^0 ≈ 1,03 (m)\)

Vậy khi dùng thang đó, chân thang phải đặt cách tường một khoảng từ \(1,03m\) đến \(1,5m\) để đảm bảo an toàn.

Cách 2:

Vì \(60^0\le \widehat A \le 70^0\) 

\(\Rightarrow \cos 70^o ≤ cosA ≤ \cos 60^o\) 

\(\Rightarrow  AB.\cos 70^o ≤ AB.cosA ≤ AB.\cos 60^o\)

\(\Rightarrow  3.\cos 70^o ≤ AB.cosA ≤ 3.\cos 60^o\)

\(\Rightarrow  1,03 ≤ AC ≤ 1,5\)

Vậy khi dùng thang đó, chân thang phải đặt cách tường một khoảng từ \(1,03m\) đến \(1,5m\) để đảm bảo an toàn.

Bài 43 trang 96 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Đố:

Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Ơ-ra-tô-xten, một nhà Toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất (chu vi đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy-en (Nay gọi là Át–xu-an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.

2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lếch-săng-đri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m.

Từ hai quan sát trên, em hãy tính xấp xỉ “chu vi” Trái Đất.

(Trên hình 5, điểm S tượng trưng cho thành phố Xy-en, điểm A tượng trung cho thành phố A-lếch-xăng-đri-a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).

Phương pháp: 

+) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn. 

Lời giải: 

Bóng của tháp vuông góc với tháp:

\(∆ABC\) vuông tại \(A.\) Có \(AC=25m;AB=3,1m\) nên 

\(\eqalign{
& tan C = {{AB} \over {AC}} = {{3,1} \over {25}} \approx 0,124 \cr
& \Rightarrow \widehat C = {7,07^0} \cr}\)

Các tia sáng được coi là song song với nhau hay \(BC//SO\) nên \(\widehat {SOA} =\widehat {ACB} = {7,07^0}\)  (hai góc so le trong)  

Vì Thành phố Xy-en nằm ở vị trí điểm S và thành phố A-lếch-xăng-đria nằm ở vị trí điểm A nên \(SA=800km\).

\(800km\) này được coi là ứng với độ dài cung có số đo là \(\widehat {SOA}=7,07^0\)

Mà số đo cả đường tròn (Trái Đất) là \(360^0\) nên chu vi của Trái Đất là: \(\displaystyle 800.{{360^0} \over 7,07^0} \approx 40735,5(km).\) 

Sachbaitap.com

Bài viết liên quan