Bài 53, 54, 55, 56, 57 trang 30 SGK Toán 9 tập 1 - Luyện tập

Bài 53 trang 30 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

a) \(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};\)

b) \(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}\)

c) \(\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}\)

d) \(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

Lời giải:  

a) 

Ta có:

\(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt {18}.\sqrt{(\sqrt 2 - \sqrt 3)^2}\)

                               \(=\sqrt{9.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3^2.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|\)

                               \(=3\sqrt{2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})\)

                               \(=3\sqrt {2.3}- 3(\sqrt 2)^2\)

                               \(=3\sqrt 6 -3.2=3\sqrt{6}-6\).

(Vì  \( 2 < 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 < \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 -\sqrt 3 <0\)

Do đó: \( |\sqrt 2 -\sqrt 3|=-(\sqrt 2 -\sqrt 3)=-\sqrt 2 +\sqrt 3\)\(=\sqrt 3-\sqrt2\)).

b) 

Ta có: 

\(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2}+\dfrac{1}{a^2b^2}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{a^2b^2}}\)

                         \(=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{a^2b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{(ab)^2}}\)

                         \(=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}\)

Nếu \(ab > 0\) thì \(|ab|=ab\)

          \( \Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}=\sqrt{a^2b^2+1}\).

Nếu \(ab < 0\) thì \(|ab|=-ab \)

           \(\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{-ab}=-\sqrt{a^2b^2+1}\).

c) 

Ta có: 

\(\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{a.b}{b^{3}.b}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^4}+\dfrac{a}{b^4}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{ab+a}{b^4}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{\sqrt{(b^2)^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{|b^2|}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{b^2}\).

(Vì \(b^2 > 0\) với mọi \( b \ne 0\) nên \( |b^2|=b^2\)).

d) 

Ta có:

\(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt a)^2+\sqrt{a}.\sqrt b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt a (\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

\(=\sqrt a\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{a + \sqrt {ab} }}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \dfrac{{\left( {a + \sqrt {ab} } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\\
= \dfrac{{a\sqrt a - a\sqrt b + \sqrt {ab} .\sqrt a - \sqrt {ab} .\sqrt b }}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{a\sqrt a - a\sqrt b + a\sqrt b - b\sqrt a }}{{a - b}}\\
= \dfrac{{a\sqrt a - b\sqrt a }}{{a - b}}\\
= \dfrac{{\sqrt a \left( {a - b} \right)}}{{a - b}} = \sqrt a
\end{array}\)

Bài 54 trang 30 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa): 

\(\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}; \)

\(\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}};\,\,\, \dfrac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}.\)

Phương pháp:

+ \( (\sqrt a)^2=a\),  với mọi \(a \ge 0\).

+ \(\sqrt{a.b}=\sqrt a. \sqrt b\),  với \(a,\ b \ge 0\).

Lời giải: 

* Ta có:

\(\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt 2)^2+ \sqrt 2}{1+ \sqrt 2}=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1+\sqrt{2}}\)

\(=\dfrac{\sqrt 2(1+ \sqrt 2)}{\sqrt 2}=\sqrt{2}\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{2+ \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}\\
= \dfrac{{2.1 - 2\sqrt 2 + \sqrt 2 - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{1^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{2 - 2\sqrt 2 + \sqrt 2 - 2}}{{1 - 2}}\\
= \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{{ - 1}} = \sqrt 2
\end{array}\)

Nhận xét: Cách làm thứ nhất phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn với mẫu đơn giản hơn cách thứ hai.

* Ta có: 

\(\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3.5}-\sqrt{5.1}}{1-\sqrt{3}}\)\(=\dfrac{\sqrt{5}.\sqrt{3}-\sqrt{5}.1}{1-\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{-\sqrt{5}(1-\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}}=-\sqrt{5}\).

+ Ta có:

\(\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}=\dfrac{(\sqrt 2)^2.\sqrt 3-\sqrt 6}{\sqrt{4.2}- 2}\)

\(=\dfrac{\sqrt 2.(\sqrt 2.\sqrt 3)-\sqrt 6}{2\sqrt 2 -2}\)\(=\dfrac{\sqrt2.\sqrt{6}-\sqrt 6}{2(\sqrt{2}-1)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\).

+ Ta có: Điều kiện xác định: \(1-\sqrt{a} \ne 0\) nên \(a \ne 1\)

\(\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\dfrac{(\sqrt a)^2-\sqrt a .1}{1-\sqrt a}=\dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{1-\sqrt{a}}\)

                   \(=\dfrac{-\sqrt{a}(1-\sqrt{a})}{1-\sqrt{a}}=-\sqrt{a}\).

+ Ta có: Điều kiện xác định: \(\sqrt{p}-2 \ne 0\) nên \(p \ne 4\)

\(\dfrac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\dfrac{(\sqrt p)^2-2.\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\dfrac{\sqrt{p}(\sqrt{p}-2)}{\sqrt{p}-2}=\sqrt{p}\).

Bài 55 trang 30 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Phân tích thành nhân tử (với \(a,\ b,\ x,\ y\) là các số không âm)

a) \(ab + b\sqrt a  + \sqrt a  + 1\)

b) \(\sqrt {{x^3}}  - \sqrt {{y^3}}  + \sqrt {{x^2}y}  - \sqrt {x{y^2}} \)

Lời giải:  

a) 

Ta có: 

\(ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=(ab+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)\)

\(=(ba+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)\)

\(=\left( {b. {\sqrt a .\sqrt a }  + b\sqrt a} \right)+ \left( {\sqrt a  + 1} \right)\)

\(=[(b\sqrt a).\sqrt a+ b\sqrt a.1]+(\sqrt a + 1)\)

\(=b\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)+(\sqrt{a}+1)\)

 \(=(\sqrt{a}+1)(b\sqrt{a}+1)\).

b) 

Ta có:

Cách 1: Sử dụng hằng đẳng thức số \(7\):

\(\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}\)

\(=[(\sqrt x)^3-(\sqrt y)^3]+ (\sqrt{x.xy}-\sqrt{y.xy})\)

\(=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2]\)

\(+ (\sqrt{x}.\sqrt{xy}-\sqrt{y}.\sqrt{xy})\)

\(=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2]\)

\(+ \sqrt{xy}.(\sqrt{x}-\sqrt{y})\)

\(=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2+\sqrt{xy}]\)

\(=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + 2\sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2]\)

\(=(\sqrt x-\sqrt y).(\sqrt x+\sqrt y)^2\).

 Cách 2: Nhóm các hạng tử:

\(\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}\)

\(=x\sqrt{x}-y\sqrt{y}+x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\) (vì x, y>0)

\(=(x\sqrt{x}+x\sqrt{y})-(y\sqrt{x}+y\sqrt{y})\)

\(=x(\sqrt{x}+\sqrt{y})-y(\sqrt{y}+\sqrt{x})\)

\(=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-y)\)

\(=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt x+\sqrt y)(\sqrt x -\sqrt y)\)

\(=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2(\sqrt{x}-\sqrt{y})\). 

Bài 56 trang 30 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

a)  \(3\sqrt{5};\,\,\,2\sqrt{6};\,\,\,\sqrt{29};\,\,\, 4\sqrt{2}\)

b) \(6\sqrt{2};\,\,\, \sqrt{38};\,\,\,3\sqrt{7};\,\,\, 2\sqrt{14}.\)

Phương pháp: 

+ Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn:

            Với \(A \ge 0,\ B \ge 0\) ta có: \(A\sqrt B =\sqrt{A^2B}.\)

            Với \(A <0,\ B \ge 0\)  ta có: \(A\sqrt B=-\sqrt{A^2B}\).

+ Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số \(a,\ b\) không âm, ta có:

           \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\).

Lời giải:  

a) 

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
3\sqrt 5 = \sqrt {{3^2}.5} = \sqrt {9.5} = \sqrt {45} \hfill \cr 
2\sqrt 6 = \sqrt {{2^2}.6} = \sqrt {4.6} = \sqrt {24} \hfill \cr 
4\sqrt 2 = \sqrt {{4^2}.2} = \sqrt {16.2} = \sqrt {32} \hfill \cr} \right.\)

Vì: \(24 < 29 < 32 < 45 \Leftrightarrow \sqrt{24}<\sqrt{29}<\sqrt{32}<\sqrt{45}\)

                                        \(\Leftrightarrow 2\sqrt{6}<\sqrt{29}< 4\sqrt{2}< 3\sqrt{5}\)

b) 

\(\left\{ \matrix{
6\sqrt 2 = \sqrt {{6^2}.2} = \sqrt {36.2} = \sqrt {72} \hfill \cr 
3\sqrt 7 = \sqrt {{3^2}.7} = \sqrt {9.7} = \sqrt {63} \hfill \cr 
2\sqrt {14} = \sqrt {{2^2}.14} = \sqrt {4.14} = \sqrt {56} \hfill \cr} \right.\)

Vì: \(38 < 56 < 63 < 72\Leftrightarrow \sqrt{38}<\sqrt{56}<\sqrt{63}<\sqrt{72}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{38}< 2\sqrt{14}<3\sqrt{7}< 6\sqrt{2}\)

Bài 57 trang 30 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

\(\sqrt {25x}  - \sqrt {16x}  = 9\) khi \(x\) bằng

(A) \(1\);

(B) \(3\);

(C) \(9\);

(D) \(81\).

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Lời giải: 

Ta có:

\(\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9\)

\(\sqrt{5^2.x}-\sqrt{4^2.x}=9\)

\(\Leftrightarrow 5\sqrt{x}-4\sqrt{x}=9\)

\(\Leftrightarrow (5-4)\sqrt{x}=9\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x}=9\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x})^2=9^2\)

\(\Leftrightarrow x=81\)

Chọn đáp án D. \(81\)

Sachbaitap.com