Bài 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76 trang 40, 41 SGK Toán 9 tập 1 - Ôn tập chương I – Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bài 70 trang 40 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

 Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp

 \(\displaystyle a)\sqrt {{{25} \over {81}}.{{16} \over {49}}.{{196} \over 9}}\)                            

\(\displaystyle b)\sqrt {3{1 \over {16}}.2{{14} \over {25}}.2{{34} \over {81}}}\)

\(\displaystyle c){{\sqrt {640} .\sqrt {34,3} } \over {\sqrt {567} }}\)                                    

 \(d)\sqrt {21,6} .\sqrt {810.} \sqrt {{{11}^2} - {5^2}}\) 

Lời giải: 

a) 

\(\eqalign{
& \sqrt {{{25} \over {81}}.{{16} \over {49}}.{{196} \over 9}} \cr
& = \sqrt {{{25} \over {81}}} .\sqrt {{{16} \over {49}}} .\sqrt {{{196} \over 9}} \cr & = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{{14}}{3}} \right)}^2}}\cr
& = {5 \over 9}.{4 \over 7}.{{14} \over 3} = {{40} \over {27}} \cr} \)

b) 

\(\eqalign{
& \sqrt {3{1 \over {16}}.2{{14} \over {25}}2{{34} \over {81}}} \cr
& = \sqrt {{{49} \over {16}}.{{64} \over {25}}.{{196} \over {81}}} \cr
& = \sqrt {{{49} \over {16}}} .\sqrt {{{64} \over {25}}} .\sqrt {{{196} \over {81}}} \cr & = \sqrt {{{\left( {\frac{7}{4}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{8}{5}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{{14}}{9}} \right)}^2}}\cr
& = {7 \over 4}.{8 \over 5}.{{14} \over 9} = {{196} \over {45}} \cr} \)

c)

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{\sqrt {640} .\sqrt {34,3} }}{{\sqrt {567} }} = \sqrt {\dfrac{{640.34,3}}{{567}}} = \sqrt {\dfrac{{64.343}}{{567}}}\\ = \sqrt {\dfrac{{64.49.7}}{{81.7}}}
 = \sqrt {\dfrac{{64.49}}{{81}}} \\ = \dfrac{{\sqrt {64} .\sqrt {49} }}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{{8.7}}{9} = \dfrac{{56}}{9}
\end{array}\)

d) 

\(\eqalign{
& \sqrt {21,6} .\sqrt {810.} \sqrt {{{11}^2} - {5^2}} \cr
& = \sqrt {21,6.810.\left( {{{11}^2} - {5^2}} \right)} \cr
& = \sqrt {216.81.\left( {11 + 5} \right)\left( {11 - 5} \right)} \cr
& = \sqrt {{36.6}{{.9}^2}{{.4}^2}.6}\cr& = \sqrt {{36^2}{{.9}^2}{{.4}^2}} = 36.9.4 = 1296 \cr} \)

Bài 71 trang 40 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\left( {\sqrt 8  - 3.\sqrt 2  + \sqrt {10} } \right)\sqrt 2  - \sqrt 5 \) 

b) \(0,2\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2}.3}  + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 5 } \right)}^2}} \)

c)  \(\displaystyle \left( {{1 \over 2}.\sqrt {{1 \over 2}}  - {3 \over 2}.\sqrt 2  + {4 \over 5}.\sqrt {200} } \right):{1 \over 8}\)

d) \(2\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 3} \right)}^2}}  + \sqrt {2.{{\left( { - 3} \right)}^2}}  - 5\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^4}} \)

Phương pháp: 

Sử dụng công thức:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B \,\,\left( {A \ge 0,B \ge 0} \right)\\
\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|
\end{array}\)

\(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{1}{{\left| B \right|}}\sqrt {AB} ;\,\,\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}\left( {B > 0} \right)\) 

Lời giải: 

a) \(\eqalign{
& \left( {\sqrt 8 - 3.\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right)\sqrt 2 - \sqrt 5 \cr & ={\sqrt 8.\sqrt 2 - 3.\sqrt 2.\sqrt 2 + \sqrt {10} }.\sqrt 2 - \sqrt 5 \cr
& = \sqrt {16} - 3.2 + \sqrt {20} - \sqrt 5 \cr  & = \sqrt {4^2} - 6 + \sqrt {2^2.5} - \sqrt 5 \cr
& = 4 - 6 + 2\sqrt 5 - \sqrt 5 = - 2 + \sqrt 5 \cr} \)

b) \(\eqalign{
& 0,2\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2}.3} + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \cr 
& = 0,2\left| { - 10} \right|\sqrt 3 + 2\left| {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right| \cr 
& = 0,2.10.\sqrt 3 + 2\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) \cr 
& = 2\sqrt 3 + 2\sqrt 5 - 2\sqrt 3 = 2\sqrt 5 \cr} \)

c) \(\eqalign{
& \left( {{1 \over 2}.\sqrt {{1 \over 2}} - {3 \over 2}.\sqrt 2 + {4 \over 5}.\sqrt {200} } \right):{1 \over 8} \cr 
& = \left( {{1 \over 2}\sqrt {{2 \over {{2^2}}}} - {3 \over 2}\sqrt 2 + {4 \over 5}\sqrt {{{10}^2}.2} } \right):{1 \over 8} \cr & = \left( {{1 \over 2}{\sqrt 2 \over 2} - {3 \over 2}\sqrt 2 + \dfrac{4}5.10\sqrt 2 } \right):{1 \over 8} \cr
& = \left( {{1 \over 4}\sqrt 2 - {3 \over 2}\sqrt 2 + 8\sqrt 2 } \right):{1 \over 8} \cr & = \left( {{1 \over 4} - {3 \over 2} + 8 } \right).\sqrt 2:{1 \over 8} \cr
& = {{27} \over 4}\sqrt 2 .8 = 54\sqrt 2 \cr} \)

d) 

\(\eqalign{
& 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 3} \right)}^2}} + \sqrt {2.{{\left( { - 3} \right)}^2}} - 5\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^4}} \cr 
& = 2\left| {\sqrt 2 - 3} \right| + \left| { - 3} \right|\sqrt 2 - 5.(-1)^2 \cr 
& = 2\left( {3 - \sqrt 2 } \right) + 3\sqrt 2 - 5 \cr } \)

(vì \(\sqrt 2 - 3 < 0)\)
\(= 6 - 2\sqrt 2 + 3\sqrt 2 - 5 = 1 + \sqrt 2\)

Bài 72 trang 40 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Phân tích thành nhân tử (với các số x, y, a, b không âm và a ≥ b)

a) \(xy - y\sqrt x  + \sqrt x  - 1\)

b)  \(\sqrt {ax}  - \sqrt {by}  + \sqrt {bx}  - \sqrt {ay} \)

c)  \(\sqrt {a + b}  + \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

d)  \(12 - \sqrt x  - x\)

Lời giải: 

a) \(\eqalign{
& xy - y\sqrt x + \sqrt x - 1 \cr & =y.\sqrt x.\sqrt x - y\sqrt x + \sqrt x - 1 \cr
& = y\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) + \left( {\sqrt x - 1} \right) \cr 
& = \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {y\sqrt x + 1} \right) \cr} \) 

b) \(\eqalign{
& \sqrt {ax} - \sqrt {by} + \sqrt {bx} - \sqrt {ay} \cr 
& = \left( {\sqrt {ax} + \sqrt {bx} } \right) - \left( {\sqrt {ay} + \sqrt {by} } \right) \cr & = \left( {\sqrt {a}.\sqrt {x} + \sqrt {b} .\sqrt {x}} \right) - \left( {\sqrt {a}.\sqrt {y} + \sqrt {b}.\sqrt {y} } \right) \cr
& = \sqrt x \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) - \sqrt y \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \cr 
& = \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) \cr} \)

c) 

\(\eqalign{
& \sqrt {a + b} + \sqrt {{a^2} - {b^2}} \cr 
& = \sqrt {a + b} + \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)} \cr & = \sqrt {a + b} + \sqrt {a + b} .\sqrt {a - b} \cr 
& = \sqrt {a + b} \left( {1 + \sqrt {a - b} } \right) \cr} \) 

d) 

\(\eqalign{
& 12 - \sqrt x - x \cr 
& = 12 - 4\sqrt x + 3\sqrt x - x \cr 
& = 4\left( {3 - \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right) \cr 
& = \left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {4 + \sqrt x } \right) \cr} \)

Bài 73 trang 40 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(\sqrt { - 9{\rm{a}}}  - \sqrt {9 + 12{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}}\) tại \(a = - 9\)

b) \(\displaystyle 1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{m^2} - 4m + 4}\) tại \(m = 1,5\)

c) \(\sqrt {1 - 10{\rm{a}} + 25{{\rm{a}}^2}}  - 4{\rm{a}}\) tại \(a = \sqrt 2\)

d) \(4{\rm{x}} - \sqrt {9{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} + 1} \) tại  \(x= - \sqrt 3\)

Lời giải:

a) 

\(\eqalign{
& \sqrt { - 9{\rm{a}}} - \sqrt {9 + 12{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}} \cr &= \sqrt { - 9{\rm{a}}} - \sqrt {3^2 + 2.3.2a + ({{\rm{2a}})^2}} \cr 
& = \sqrt {{3^2}.\left( { - a} \right)} - \sqrt {{{\left( {3 + 2a} \right)}^2}} \cr 
& = 3\sqrt { - a} - \left| {3 + 2a} \right|\cr&\text{Thay a = - 9 ta được} \cr 
&  3\sqrt 9 - \left| {3 + 2.\left( { - 9} \right)} \right| \cr 
& = 3.3 - |-15|= 9 - 15 = - 6 \cr} \)

b) 

Điều kiện \(m\ne 2\) 

\(\eqalign{
& 1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{m^2} - 4m + 4} \cr & =1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{m^2} - 2.2.m + 2^2} \cr
& = 1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{{\left( {m - 2} \right)}^2}} \cr 
& = 1 + {{3m\left| {m - 2} \right|} \over {m - 2}} \cr} \)                                                             

\( = \left\{ \matrix{
1 + 3m\left( {với\,\, m - 2  >  0} \right) \hfill \cr 
1 - 3m\left( {với \,\,m - 2 < 0} \right) \hfill \cr} \right. \)

\(= \left\{ \matrix{
1 + 3m\left( {với\,\, m> 2} \right) \hfill \cr 
1 - 3m\left( {với \,\,m < 2} \right) \hfill \cr} \right.\)

\(m = 1,5 < 2.\)

Vậy giá trị biểu thức tại \(m = 1,5\) là \(1 – 3m = 1 - 3.1,5 = -3,5\)

c) 

\(\eqalign{
& \sqrt {1 - 10{\rm{a}} + 25{{\rm{a}}^2}} - 4{\rm{a}} \cr & =\sqrt {1 - 2.1.5{\rm{a}} + (5{{\rm{a}})^2}} - 4{\rm{a}} \cr 
& {\rm{ = }}\sqrt {{{\left( {1 - 5{\rm{a}}} \right)}^2}} - 4{\rm{a}} \cr 
& {\rm{ = }}\left| {1 - 5{\rm{a}}} \right| - 4{\rm{a}} \cr 
& = \left\{ \matrix{
1 - 5{\rm{a}} - 4{\rm{a}}\left( {với\,\, 1 - 5{\rm{a}} \ge 0} \right) \hfill \cr 
5{\rm{a}} - 1 - 4{\rm{a}}\left( {với\,\, 1 - 5{\rm{a}} < 0} \right) \hfill \cr} \right. \cr 
& = \left\{ \matrix{
1 - 9{\rm{a}}\left( {với\,\, a \le {\displaystyle 1 \over \displaystyle 5}} \right) \hfill \cr 
a - 1\left( {với\,\, a > {\displaystyle 1 \over \displaystyle 5}} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vì \(\displaystyle a= \sqrt 2  > {1 \over 5}\) .

Vậy giá trị của biểu thức tại \(a=\sqrt 2\) là \(a - 1 = \sqrt 2  - 1\)

d)

\(\eqalign{
& 4{\rm{x}} - \sqrt {9{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} + 1} \cr & 4{\rm{x}} - \sqrt {(3{{\rm{x}})^2} + 2.3{\rm{x}} + 1} \cr 
& = 4{\rm{x}} - \sqrt {{{\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)}^2}} \cr 
& = 4{\rm{x}} - \left| {3{\rm{x}} + 1} \right| \cr 
& = \left\{ \matrix{
4{\rm{x - }}\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\left( {với\, 3{\rm{x}} + 1 \ge 0} \right) \hfill \cr 
4{\rm{x}} + \left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\left( {với\, 3{\rm{x}} + 1 < 0} \right) \hfill \cr} \right. \cr 
& = \left\{ \matrix{
4{\rm{x}} - 3{\rm{x}} - 1\left( {với \,3{\rm{x}} \ge - 1} \right) \hfill \cr 
4{\rm{x}} + 3{\rm{x}} + 1\left( {với \,3{\rm{x}} < - 1} \right) \hfill \cr} \right. \cr 
& = \left\{ \matrix{
x - 1\left( {v{\rm{ới \,x}} \ge - {1 \over 3}} \right) \hfill \cr 
7{\rm{x}} + 1\left( {với \,x < - {1 \over 3}} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vì \( \displaystyle x=- \sqrt 3  <  - {1 \over 3}\) .

Giá trị của biểu thức tại \( x=- \sqrt 3\) là \(7x+1=7.( - \sqrt 3 ) + 1 =  - 7\sqrt 3  + 1\)

Chú ý: Các em có thể không phá dấu giá trị tuyệt đối mà thay trực tiếp giá trị của biến vào. 

Bài 74 trang 40 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Tìm x, biết:

a) \(\sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}  = 3\)

b) \(\displaystyle {5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}}  - \sqrt {15{\rm{x}}}  - 2 = {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} \)

Phương pháp: 

Sử dụng công thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\) 

Đưa về dạng \(\left| A \right| = m\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = m\\
A = - m
\end{array} \right.\)

Lời giải: 

a) 

\( \sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}} = 3 \)
\( \Leftrightarrow \left| {2{\rm{x}} - 1} \right| = 3 \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - 1 = 3\\
2x - 1 = - 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = 4\\
2x = - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x=-1;x=2.\)

b) 

Điều kiện: \(x\ge 0\)

\(\eqalign{
& {5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} - \sqrt {15{\rm{x}}} - 2 = {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} \cr 
& \Leftrightarrow {5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} - \sqrt {15{\rm{x}}} - {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} = 2 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {{5 \over 3} - 1 - {1 \over 3}} \right)\sqrt {15} x = 2 \cr 
& \Leftrightarrow {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} = 2 \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt {15{\rm{x}}} = 6 \cr 
& \Leftrightarrow 15{\rm{x}} = 36 \cr 
& \Leftrightarrow x = {{12} \over 5}\,(thỏa\,\, mãn) \cr} \)

Vậy \(x=\dfrac{12}5.\)

Bài 75 trang 40 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\displaystyle \left( {{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 } \over {\sqrt 8  - 2}} - {{\sqrt {216} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} =  - 1,5\)

b) \(\displaystyle \left( {{{\sqrt {14}  - \sqrt 7 } \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {15}  - \sqrt 5 } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right):{1 \over {\sqrt 7  - \sqrt 5 }} =  - 2\)

c) \(\displaystyle {{a\sqrt b  + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a  - \sqrt b }} = a - b\) với a, b dương và a ≠ b

d) \(\displaystyle \left( {1 + {{a + \sqrt a } \over {\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - {{a - \sqrt a } \over {\sqrt a  - 1}}} \right) = 1 - a\) với a ≥ 0 và a ≠ 1

Phương pháp: 

Sử dụng công thức \(\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B \,\,\left( {A \ge 0,B \ge 0} \right)\) và các hằng đẳng thức để biến đổi phân tích các tử (mẫu) thành nhân tử ( nếu có thể) để rút gọn. 

Lời giải: 

a)

 \(\eqalign{
& VT=\left( {{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 } \over {\sqrt 8 - 2}} - {{\sqrt {216} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & =\left( {{{\sqrt 2.\sqrt 2.\sqrt 3 - \sqrt 6 } \over {\sqrt {2^2.2} - 2}} - {{\sqrt {6^2.6} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & =\left( {{{\sqrt 2.\sqrt 6 - \sqrt 6 } \over {2\sqrt 2 - 2}} - {6.{\sqrt {6} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr 
& = \left[ {{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \over {2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} - {{6\sqrt 6 } \over 3}} \right].{1 \over {\sqrt 6 }} \cr 
& = \left( {{{\sqrt 6 } \over 2} - 2\sqrt 6 } \right).{1 \over {\sqrt 6 }}\cr& = \left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2} - \frac{{4\sqrt 6 }}{2}} \right).\frac{1}{{\sqrt 6 }} \cr 
& = \left( {{{ - 3} \over 2}\sqrt 6 } \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr 
& = - {3 \over 2} = - 1,5 =VP\cr} \)  

b) 

\(\eqalign{
& VT=\left( {{{\sqrt {14} - \sqrt 7 } \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {15} - \sqrt 5 } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right):{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \cr &= \left( {{{\sqrt {7}.\sqrt 2 - \sqrt 7 } \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {5}.\sqrt 3 - \sqrt 5 } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right):{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \cr
& = \left[ {{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {5 }\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over {1 - \sqrt 3 }}} \right]:{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \cr 
& = \left( { - \sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right) \cr 
& = - \left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right) \cr 
& = - \left( {7 - 5} \right) = - 2=VP \cr} \)

c) 

\(\eqalign{
& VT={{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr & ={{\sqrt a.\sqrt a.\sqrt b + \sqrt b.\sqrt b.\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr & ={{\sqrt a.\sqrt {ab} + \sqrt b.\sqrt {ab} } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr
& = {{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)} \over {\sqrt {ab} }}.\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\cr&= \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right).\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right) \cr 
& = a - b=VP \cr} \)

d) 

\(\eqalign{
&VT= \left( {1 + {{a + \sqrt a } \over {\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - {{a - \sqrt a } \over {\sqrt a - 1}}} \right) \cr & =\left( {1 + {{\sqrt a .\sqrt a+ \sqrt a } \over {\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - {{\sqrt a.\sqrt a - \sqrt a } \over {\sqrt a - 1}}} \right) \cr 
& = \left[ {1 + {{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)} \over {\sqrt a + 1}}} \right]\left[ {1 - {{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)} \over {\sqrt a - 1}}} \right] \cr 
& = \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right) \cr 
& =1-(\sqrt a)^2= 1 - a =VP\cr} \) 

Bài 76 trang 41 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho biểu thức

\(\displaystyle Q = {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):{b \over {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\) với a > b > 0

a) Rút gọn Q

b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b 

Lời giải:

 a)  

\(\begin{array}{l}
\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\dfrac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\
 = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{a + \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}.\dfrac{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{b}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{a^2} -\left( \sqrt{ {{a^2} - {b^2}}} \right)^2}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\
 = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{a^2} - \left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{b^2}{b.{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\
 = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\
 = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\
 = \dfrac{{\sqrt {a - b} .\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a - b} .\sqrt {a + b} }}\, (do\,\, a>b>0)\\
 = \dfrac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }}
\end{array}\) 

Vậy \(Q= \dfrac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }}.\) 

b) Thay \(a = 3b\)  vào \(Q= \dfrac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }}\)  ta được:

\(Q=\dfrac{{\sqrt {3b - b} }}{{\sqrt {3b + b} }} = \dfrac{{\sqrt {2b} }}{{\sqrt {4b} }} \\= \dfrac{{\sqrt {2b} }}{{\sqrt 2 .\sqrt {2b} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

 Sachbaitap.com