Bài 94, 95, 96, 97, 98, 99 trang 105 SGK Toán 9 tập 2 - Ôn tập chương III Góc với đường tròn

Bài 94 trang 105 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú (h.72). Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a) Có phải \(\displaystyle {1 \over 2}\) số học sinh là học sinh ngoại trú không?

b) Có phải \(\displaystyle {1 \over 3}\) số học sinh là học sinh bán trú không?

c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm?

d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là \(1800\) em. 

Lời giải:

Ta có: \(\widehat {{O_1}} = {30^0};\widehat {{O_2}} = {90^0};\widehat {{O_3}} = {60^0};\widehat {{AOB}} = {180^0}\)

a) Đúng vì:

\(\widehat {{O_2}} = {90^0} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOB}\)

b) Đúng vì:

\(\widehat {{O_3}} = {60^0} = \dfrac{1}{3}\widehat {AOB}\)

c) Số học sinh nội trú chiếm : \(\dfrac{{30}}{{180}}\) .100% = 16,7% 

d) Vì \(\displaystyle {1 \over 2}\) số học sinh là học sinh ngoại trú nên số học sinh ngoại trú là \(z=\dfrac{1}{2}.1800 = 900\) em

Vì \(\displaystyle {1 \over 3}\) số học sinh là học sinh bán trú nên số học sinh bán trú là \(y=\dfrac{1}{3}.1800 = 600\) em

Số học sinh nội trú là \(1800-900-600 = 300\) em

Bài 95 trang 105 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Các đường cao hạ từ \(A\) và \(B\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\) (góc \(C\) khác \(90^0\)) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Chứng minh rằng:

a) \(CD = CE\) ;     b) \(ΔBHD\) cân ;     c) \(CD = CH\). 

Lời giải: 

a) Gọi K là giao điểm của BC và AD

Gọi I là giao điểm của BE và AC 

Cách 1:

Ta có: \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}B}\) (1) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))

\(\widehat {DBC} + \widehat {ADB} = {90^0}\) (2) (do tam giác BDK vuông tại K)

\(\widehat {AEB} + \widehat {CAE} = {90^0}\) (3) (do tam giác AIE vuông tại I)

 Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{E}}}\) (cùng phụ với hai góc bằng nhau)

Có \(\widehat {CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

\(\widehat {EAC}\) là góc nội tiếp chắn cung CE 

⇒ \(sđ\overparen{CD}\)= \(sđ\overparen{CE}\)

Suy ra \(CD = CE\)

Cách 2:

Vì \(BC \bot AD\) nên \(\widehat{AKB}=90^0\)

Lại có \(\widehat{AKB}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CD nên

\(\widehat{AKC}=\dfrac{sđ\overparen {DC}+sđ \overparen {BA}}{2}=90^0\)

Suy ra \(sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CD}=180^0\) (1) 

Vì \(BE \bot AC\) nên \(\widehat{AIB}=90^0\)

Lại có \(\widehat{AIB}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CE nên

\(\widehat{AIB}=\dfrac{sđ\overparen {CE}+sđ \overparen {AB}}{2}=90^0\)

Suy ra \(sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CE}=180^0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(sđ \overparen {CE}=sđ \overparen {CD}\)

Suy ra \( \overparen {CE}=\overparen {CD}\), do đó \(CE=CD.\)

b) Ta có \(\widehat {EBC}\) và \(\widehat {CB{\rm{D}}}\) là góc nội tiếp lần lượt chắn cung \(\overparen{CE}\) và \(\overparen{CD}\) trong đường tròn \(O\) và \(\overparen{CD}\)= \(\overparen{CE}\)

nên \(\widehat {EBC} = \widehat {CB{\rm{D}}}\) ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau)

\(\Rightarrow\) BK là phân giác của \(\widehat {HBD}\)

Lại có BK vuông góc với HD (giả thiết H là trực tâm của tam giác ABC). Suy ra BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác HBD nên  \(∆BHD\) cân tại \(B\)

c) Vì \(∆BHD\) cân nên đường cao \(BK\) đồng thời là đường trung trực.

Điểm \(C\) nằm trên đường trung trực của \(HD\) nên \(CH = CD\)

Bài 96 trang 105 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\) và tia phân giác của góc \(A\) cắt đường tròn tại \(M\). Vẽ đường cao \(AH\). Chứng minh rằng:

a) \(OM\) đi qua trung điểm của dây \(BC\).

b) \(AM\) là tia phân giác của góc \(OAH\).

Lời giải:

a) Vì \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {BAM} = \widehat {MAC}\)  

\( \Rightarrow\) \(\overparen{BM}\)=\(\overparen{MC}\) ( 2 góc nội tiếp bằng nhau thì chắn 2 cung bằng nhau)

\( \Rightarrow\) \(M\) là điểm chính giữa cung \(BC\)  

Vậy \(OM \bot BC\) và \(OM\) đi qua trung điểm của \(BC\) (định lí)

b) Ta có : \(OM \bot BC\) và \(AH\bot BC\) nên \(AH//OM\)

\( \Rightarrow \widehat {HAM} = \widehat {AM{\rm{O}}}\)  (2 góc so le trong)  (1)

Vì \(OA=OM\) (= bán kính đường tròn (O)) nên \(∆OAM\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow\) \(\widehat {AM{\rm{O}}} = \widehat {MAO}\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow\) \(\widehat {HA{\rm{M}}} = \widehat {MAO}\) 

Vậy \(AM\) là đường phân giác của góc \(\widehat {OAH}\)

Bài 97 trang 105 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Trên \(AC\) lấy một điểm \(M\) và vẽ đường tròn đường kính \(MC\). Kẻ \(BM\) cắt đường tròn tại \(D\). Đường thẳng \(DA\) cắt đường tròn tại \(S\). Chứng minh rằng:

a) \(ABCD\) là một tứ giác nội tiếp;

b) \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}\) ;

c) \(CA\) là tia phân giác của góc \(SCB\) 

Lời giải:

a) Ta có góc \(\widehat {MDC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \((O)\) nên \(\widehat {MDC} = {90^0}\)

\(\Rightarrow\) \(∆CDB\) là tam giác vuông nên nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).

Ta có \(∆ABC\) vuông tại \(A\).

Do đó \(∆ABC\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(I\) đường kính \(BC\).

Ta có \(A\) và \(D\) là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn \(BC\) dưới một góc \(90^0\) không đổi nên tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\)

b) Trong đường tròn (I): \(\widehat {AB{\rm{D}}}\)=\(\widehat {AC{\rm{D}}}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD\).

Vậy \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}\)

c) Ta có:

\(\widehat {ADB} + \widehat {BDS} = {180^0}\) ( 2 góc kề bù)

Mà \(\widehat {MCS} + \widehat {MDS} = {180^0}\) (tứ giác CMDS nội tiếp đường tròn (O))

Từ đó ta có: \(\widehat {ADB}=\widehat {MCS}\) (1)

Lại có tứ giác ABCD nội tiếp nên \(\widehat {ADB}=\widehat {ACB}\)(góc nội tiếp cùng chắn cung AB (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\widehat {MCS}=\widehat {ACB}\)

Vậy tia \(CA\) là tia phân giác của góc \(SCB\)

Bài 98 trang 105 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho đường tròn \((O)\) và một điểm \(A\) cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm \(M\) của dây \(AB\) khi điểm \(B\) di động trên đường tròn đó.

Lời giải:

Phần thuận: giả sử M là trung điểm của dây AB. Ta có OM ⊥ AB (định lí)

Khi B di động trên (O), điểm M luôn nhình OA cố định dưới góc vuông , vậy M thuộc đường tròn đường kính OA.

Phần đảo: lấy điểm M' bất kì trên đường tròn đường kính OA.

Nối M' với A, đường thẳng M'A cắt đường tròn (O) tại B'. Nối M' với O ta có

Góc AM’O = 90^o

Hay OM' ⊥ AB'

⇒ M' là trung điểm của AB'

Kết luận: Tập hợp các trung điểm của dây AB là đường tròn đường kính OA.

Bài 99 trang 105 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

 Dựng \(ΔABC\), biết \(BC = 6cm\), góc \(\widehat{BAC} = 80^0\), đường cao \(AH\) có độ dài là \(2cm\). 

Lời giải:

Cách dựng như sau:

- Dựng đoạn \(BC = 6cm\)

- Dựng cung chứa góc \(80^0\) trên đoạn \(BC\) (như bài 46 trang 86)

- Dựng đường thẳng \(xy // BC\) và cách \(BC\) một khoảng là \(2cm\). Đường thẳng \(xy\) cắt cung chứa góc \(80^0\) tại hai điểm \(A\) và \(A’\)

- Tam giác \(ABC\) là tam giác phải dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 6cm.

+ A ∈ cung chứa góc \(80^0\) dựng trên đoạn BC nên \(\widehat {BAC}=80^0\)

+ A ∈ xy song song với BC và cách BC 2cm nên chiều cao \(AH = 2cm.\)

Vậy ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Biện luận: Do xy cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình (\(∆ABC\) và \(∆A’BC\))

Sachbaitap.com