Giải SBT Toán 10 trang 58, 59, 60 Kết nối tri thức tập 2

Bài 8.18 trang 58 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Có 5 nhà xe vận chuyển hành khách giữa Hà Nội và Hải Phòng, Sổ cách để một người đi từ Hà Nội tới Hải Phòng rồi sau đó quay lại Hà Nội bằng hai nhà xe khác nhau là

A. 5

B. 10

C. 15

D. 20

Phương pháp:

 Áp dụng quy tắc nhân.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Từ Hà Nội tới Hải Phòng, một hành khách có 5 cách chọn nhà xe.

Để quay lại Hà Nội bằng một nhà xe khác thì hành khách có 5 – 1= 4 cách chọn.

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách đi là 5 . 4 = 20 (cách)

Bài 8.19 trang 58 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Số các số tự nhiên chẵn có ba chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 là

 A. 224

 B. 280

 C. 324

D. Không số nào trong các số đó.

Phương pháp:

 Áp dụng quy tắc nhân.

Lời giải:

-       Chọn chữ số hàng đơn vị có 4 cách (2, 4, 6, 8) do số đó là số chẵn.

Vì các chữ số đôi một khác nhau nên:

-       Chọn chữ số hàng chục có 8 cách (khác chữ số hàng đơn vị)

-       Chọn chữ số hàng trăm có 7 cách (khác chữ số hàng đơn vị và hàng trục)

 Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu là: 4. 7. 8= 224 số

Chọn A

Bài 8.20 trang 58 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Số các số tự nhiên trong khoảng từ 3 000 đến 4 000, chia hết cho 5, các chữ số đôi một khác nhau, được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là

1.  \(C_4^2\)
2.  \(A_4^2\)
3.  \(A_5^2\)
4.  \(C_6^4\)

Lời giải:

Các số tự nhiên trong khoảng từ 3 000 đến 4 000, chia hết cho 5 thì có chữ số hàng nghìn là 3 và chữ số hàng đơn vị là 5.

Số cần tìm có dạng \(\overline {3ab5} \), với \(a,b\) khác nhau và \(a,b\) chọn trong các chữ số 1; 2; 4; 6

Khi đó số bộ hai số khác nhau, có sắp thứ tự, lấy ra từ 4 số đó là: \(A_4^2\)

Chọn B

Bài 8.21 trang 58 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho số nguyên dương \(n \ge 4\). Người ta đánh dấu n điểm phân biệt trên một đường tròn. Biết rằng số các hình tam giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu thì bằng số các tứ giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu. Giá trị của n là

A. 4

B. 6

C. 7

D. 9

Lời giải:

Mỗi tam giác được xác định bởi ba điểm đánh dấu nên số tam giác với n điểm được đánh dấu là \(C_n^3\).

 Tương tự số tứ giác với n điểm được đánh dấu là \(C_n^4\)

 Số tam giác bằng số tứ giác nên ta có: \(\begin{array}{l}C_n^3 = C_n^4 \Leftrightarrow \frac{{n.(n - 1).(n - 2)}}{{3!}} = \frac{{n.(n - 1).(n - 2).(n - 3)}}{{4!}}\\ \Leftrightarrow 1 = \frac{{n - 3}}{4}\\ \Leftrightarrow n = 7\end{array}\)

Chọn C.

Bài 8.22 trang 58 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Có 3 ứng viên cho 1 vị trí làm việc. Hội đồng tuyển dụng có 5 người, mỗi người bầu cho đúng 1 ứng viên. Số cách bầu của hội đồng là

A. \(C_5^3\)

B. \({5^3}\)

C. \({3^5}\)

D. Không số nào trong các số đó.

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc nhân.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Mỗi thành viên của hội đồng có 3 cách bầu khác nhau.

Số thành viên của hội đồng là 5.

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách bầu là: 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 3⁵.

Bài 8.23 trang 58 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Tại một cuộc họp của học sinh các lớp 10A, 10BB, 10C, 10D và 10E, ban tổ chức đề nghị đại diện của mỗi lớp trình bày một báo cáo. Bạn đại diện của lớp 10A đề nghị được trình bày báo cáo ngay trước đại diện của lớp 10B và được ban tổ chức đồng ý. Số cách xếp chương trình là

A. 24

B. 36

C. 48

D. 30.

Phương pháp:

Áp dụng công thức hoán vị và quy tắc cộng.

Lời giải:

 Gọi thứ tự các bài báo cáo là 1, 2, 3, 4, 5. Có 4 phương án sắp xếp báo cáo của đại diện lớp 10B ngay sau báo cáo đại diện của 10A là:

-       10A báo cáo 1, 10B báo cáo 2

-       10A báo cáo 2, 10B báo cáo 3

-       10A báo cáo 3, 10B báo cáo 4

-       10A báo cáo 4, 10B báo cáo 5

Với mỗi phương án ta sắp xếp thứ tự đại diện của 10C, 10D, 10E theo thứ tự bất kì vào vị trí các báo cáo còn lại.

Do đó với mỗi phương án thì số cách sắp xếp là: 3!= 6 cách

Theo quy tắc cộng, số cách sắp xếp chương trình là:

       6+ 6+ 6+ 6= 24 cách

Chọn A

Bài 8.24 trang 58 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Người ta muốn thành lập một uỷ ban gồm 6 thành viên, trong đó có ít nhất 3 thành viên nữ từ một nhóm đại biểu gồm 6 nam và 4 nữ. Số các cách thành lập uỷ ban như vậy là

A. 100

B. 210

C. 60

D. 95

Phương pháp:

Áp dụng công thức tổ hợp.

Lời giải:

 Vì chỉ có 4 đại biểu nữ nên ta có 2 trường hợp.

-       Trường hợp 1: Ủy ban gồm 3 nữ và 3 nam.

Số cách chọn ra 3 người từ 4 đại biểu nữ là: \(C_4^3 = 4\)cách

Số cách chọn ra 3 người từ 6 đại biểu nam là: \(C_6^3 = 20\)cách

-       Trường hợp 2: Ủy ban gồm 4 nữ và 2 nam.

Số cách chọn ra 4 người từ 4 đại biểu nữ là: 1 cách

Số cách chọn ra 2 người từ 6 đại biểu nam là: \(C_6^2 = 15\) cách

Vậy có số cách thành lập ủy ban là:

                 4. 20 + 1. 15= 95 cách

Chọn D.

Bài 8.25 trang 59 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Có 3 cặp vợ chồng mua 6 vé xem phim với các chỗ ngồi liên tiếp nhau trên cùng một hàng ghế. Số cách xếp chỗ ngồi sao cho mỗi cặp vợ chồng đều ngồi cạnh nhau là

A. 24

B. 36

C. 48

D. 120

Phương pháp:

 Áp dụng công thức hoán vị và quy tắc nhân.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Trước hết, xét mỗi cặp vợ chồng như là một khối.

Số cách xếp 3 khối vào 3 vị trí là: 3! = 3 . 2 . 1 = 6.

Bây giờ, với mỗi cách xếp như vậy, mỗi cặp vợ chồng (của một khối) có thể đổi chỗ cho nhau để có một cách xếp mới. Số cách đổi chỗ mỗi cặp vợ chồng là: 2! = 2 . 1 = 2.

Như vậy, tổng số cách xếp chỗ cho 6 người với yêu cầu của bài toán là:

6 . 2 . 2 . 2 = 48 (cách).

Bài 8.26 trang 59 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Tổng các hệ số của các đơn thức trong khai triển của \({(1 + x)^4}\) bằng

A. 32

B. 8

C. 4

D. 16.

Lời giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{(1 + x)^4} = {1^4} + {4.1^3}.x + {6.1^2}.{x^2} + 4.1.{x^3} + {x^4}\\\quad \quad \quad  = 1 + 4x + 6{x^2} + 4{x^3} + {x^4}\end{array}\)

Tổng các hệ số trong khai triển là: 1 +4 +6 + 4 + 1= 16

Chọn D.

Bài 8.27 trang 59 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Giá trị của biểu thức \({\left( {\sqrt 5  + 1} \right)^5} - {\left( {\sqrt 5  - 1} \right)^5}\) bằng

 A. 252

 B. 352

 C. 452

 D. 425

Phương pháp:

 Áp dụng công thức khai triển\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\).

Lời giải:

 Ta có: \({\left( {\sqrt 5  + 1} \right)^5} - {\left( {\sqrt 5  - 1} \right)^5}\)

\(\begin{array}{l} = \left[ {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} + 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 5.\sqrt 5  + {1^5}} \right]\\ - \left[ {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} + 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4}.( - 1) + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3}{{( - 1)}^2} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}{{( - 1)}^3} + 5.\sqrt 5 .{{( - 1)}^4} + {{( - 1)}^5}} \right]\\ = \left[ {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} + 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 5.\sqrt 5  + {1^5}} \right]\\ - \left[ {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} - 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} - 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 5.\sqrt 5  - {1^5}} \right]\\ = {\left( {\sqrt 5 } \right)^5} + 5{\left( {\sqrt 5 } \right)^4} + 10{\left( {\sqrt 5 } \right)^3} + 10{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 5.\sqrt 5  + {1^5}\\ - {\left( {\sqrt 5 } \right)^5} + 5{\left( {\sqrt 5 } \right)^4} - 10{\left( {\sqrt 5 } \right)^3} + 10{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 5.\sqrt 5  + {1^5}\\ = 10{\left( {\sqrt 5 } \right)^4} + 20{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2\\ = 10.25 + 20.5 + 2\\ = 352\end{array}\)

Chọn B.

Bài 8.28 trang 59 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 3 bạn nữ thành một hàng ngang sao cho đứng ngoài cùng bên trái và đứng ngoài cùng bên phải là các bạn nam?

Phương pháp:

 Áp dụng quy tắc nhân, công thức hoán vị, chỉnh hợp

Lời giải:

Có tất cả 5+3=8 bạn học sinh.

-       Chọn ra 2 bạn nam đứng ngoài cùng bên trái và đứng ngoài cùng bên phải có số cách là: \(A_5^2 = 20\) cách

-       Xếp 6 bạn còn lại vào các vị trí giữa 2 bạn nam có 6!= 720 cách

Theo quy tắc nhân, tổng số cách sắp xếp là:

               20. 720 = 14 400 cách

Bài 8.29 trang 59 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Một phòng thi có 4 hàng bàn ghế, mỗi hàng có 5 bộ bàn ghế. Có 10 thí sinh nam và 10 thí sinh nữ được xếp vào phòng thi đó. Người ta muốn xếp các thí sinh, mỗi thí sinh ngồi một bàn, sao cho mỗi hàng chỉ xếp các thí sinh cùng giới tính và thí sinh ở hai hàng liên tiếp thì khác giới tính với nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho các thí sinh?

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân và công thức hoán vị.

Lời giải:

Đánh số các hàng từ trên xuống dưới lần lượt là 1, 2, 3, 4 ta có 2 phương án:

-       Phương án 1: Xếp các thí sinh nam vào hàng 1 và 3, còn các thí sinh nữ vào hàng 2, 4.

Xếp 10 thí sinh nam vào 10 chỗ ở hàng 1 và 3 có số cách là:

       10!= 3 628 800 cách

Xếp 10 thí sinh nữ vào 10 chỗ ở hàng 2 và 4 có số cách là:

       10!= 3 628 800 cách

Có tổng số cách sắp xếp theo phương án 1 là:

              10!. 10! cách

-       Phương án 2: Xếp các thí sinh nam vào hàng 2 và 4, còn các thí sinh nữ vào hàng 1, 3.

Tương tự phương án 1, phương án 2 có 10!. 10! cách

Theo quy tắc cộng, số cách sắp xếp theo yêu cầu là:

        10!. 10!+ 10!. 10!= 26 336 378 880 000 cách

Bài 8.30 trang 59 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Ông giám đốc vườn thú mua 10 con vật để nhốt vào 10 cái chuồng mới xây. Thế nhưng có 3 cái chuồng lại không vừa so với 5 con vật lớn nhất. Hỏi vị giám đốc có bao nhiêu cách nhốt 10 con vật, mỗi con trong một chuồng?

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc nhân, công thức hoán vị, chỉnh hợp

Lời giải:

-       Ta cần nhốt 5 con vật lớn nhất vào 5 trong 7 cái chuồng phù hợp có số cách là: \(A_7^5 = 2520\)

-       Số cách nhốt 5 con vật còn lại vào 5 chuồng còn lại là:

          5!= 120 cách

Theo quy tắc nhân, số cách nhốt theo yêu cầu là: 2 520. 120= 302 400 cách

Bài 8.31 trang 59 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Một nhóm người gồm 3 bạn nam và 3 bạn nữ mua 6 chiếc vé xem phim với các chỗ ngồi liên tiếp nhau.

a) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ nhau?

b) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho các bạn nữ ngồi liên tiếp nhau?

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân và công côngthuwcs hoán vị.

Lời giải:

a)    Ta đánh số các chiếc ghế từ trái qua phải 1, 2, 3, 4, 5, 6

Để xếp các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ nhau ta có:

-       Phương án 1: các bạn nữ ngồi ghế 1, 3, 5 và các bạn nam ngồi ghế 2, 4, 6

-       Phương án 2: các bạn nữ ngồi ghế  2, 4, 6 và các bạn nam ngồi ghế 1, 3, 5

Số cách xếp 3 bạn nữ vào 3 chỗ ngồi là 3!= 6 cách

Số cách xếp 3 bạn nam vào 3 chỗ ngồi còn lại là 3!= 6 cách

Số cách sắp xếp chỗ ngồi của mỗi phương án là: 6. 6= 36 cách

Vậy có tổng cách xếp chỗ ngồi theo yêu cầu là:  36+ 36= 72 cách

a)    Để xếp chỗ cho các bạn nữ ngồi liên tiếp nhau ta có:

-       Phương án 1: các bạn nữ ngồi ghế 1, 2, 3

-       Phương án 2: các bạn nữ ngồi ghế 2, 3, 4

-       Phương án 3: các bạn nữ ngồi ghế 3, 4, 5

-       Phương án 4: các bạn nữ ngồi ghế 4, 5, 6

      Tương tự như câu a số cách xếp chỗ ngồi cho 3 bạn nữ vào 3 chỗ và số cách xếp chỗ ngồi cho 3 bạn nam đều bằng 6.

      Do đó số cách sắp xếp chỗ ngồi của mỗi phương án là: 6. 6= 36 cách.

Vậy có tổng số cách sắp xếp chỗ theo yêu cầu là: 36+ 36+ 36+ 36= 144 cách

Bài 8.32 trang 59 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong phần ca nhạc tại một cuộc gặp mặt của một nhóm bạn, hai người bất kì hát song ca đúng một lần với nhau trong 2 phút. Thời gian hát song ca kể từ lúc bắt đầu đến lúc kết thúc (coi các cặp hát nối tiếp nhau liên tục) là 30 phút. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người?

Phương pháp:

Áp dụng công thức tổ hợp \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{n.(n - 1)...(n - k + 1)}}{{k!}}\)

Lời giải:

Gọi số người của nhóm bạn là n  \((n \in \mathbb{N}*)\)

 Số các cặp song ca là số cách chọn ra 2 người từ n người:

\(C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = \frac{{n.(n - 1)}}{2}\)

Mỗi cặp song ca mất 2 phút nên tổng thời gian hát là:

\(2.\frac{{n.(n - 1)}}{2} = n.(n - 1) = 30\) (phút)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {n^2} - n - 30 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\\n =  - 5\;(L)\end{array} \right.\\ \Rightarrow n = 6\end{array}\)

 Vậy nhóm bạn có 6 người.

Bài 8.33 trang 60 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong hình sau đây, mỗi cạnh của tam giác đều được chia thành 6 đoạn | thẳng bằng nhau bởi 5 điểm nằm bên trong cùng với hai đầu mút. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là các chấm điểm ở trong hình:

Phương pháp:

 Áp dụng công thức tổ hợp và quy tắc cộng.

Lời giải:

  Tổng số chấm điểm trong hình là 18.

 Mỗi tam giác được tạo thành từ 3 điểm không thẳng hàng. Ta tính số cách chọn ra 3 điểm không thẳng hàng bằng số cách lấy số cách chọn ra 3 điểm trừ đi cách chọn ra 3 điểm thẳng hàng.

 Số cách chọn ra 3 điểm từ 18 điểm là:

\(C_{18}^3 = 816\) cách

Chọn ra 3 điểm thẳng hàng bằng cách chọn ra 3 điểm trên cùng 1 cạnh.

Mỗi cạnh có 7 điểm do đó có số cách chọn ra 3 điểm từ 1 cạnh là \(C_7^3 = 35\)cách

Số cách chọn ra 3 điểm thẳng hàng là 35+ 35+ 35= 105 cách

Vậy số tam giác cần tìm là: 816 - 105= 711.

Bài 8.34 trang 60 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Hình sau đây được tạo thành từ hai họ đường thẳng vuông góc, mỗi họ gồm 6 đường thẳng song song.

Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật khác nhau được tạo thành?

Phương pháp:

Áp dụng công thức tổ hợp và quy tắc nhân.

Lời giải:

Mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ giao điểm của 2 đường thẳng của họ các đường đường thẳng nằm ngang và 2 đường thẳng của họ các đường thẳng nằm dọc.

 Số cách chọn ra 2 đường thẳng từ 6 đường thẳng nằm ngang là: \(C_6^2 = 15\)cách

Số cách chọn ra 2 đường thẳng từ 6 đường thẳng nằm dọc là: \(C_6^2 = 15\) cách

 Theo quy tắc nhân, số hình chữ nhật được tạo thành là: 15. 15= 225 cách

Bài 8.35 trang 60 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

a) Có bao nhiêu dãy ký tự gồm 4 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ "NGHI"?

 b) Có bao nhiêu dãy kí tự gồm 6 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ "NGHIÊN" ?

c) Có bao nhiêu dãy ký tự gồm 7 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành

bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ "NGHIÊNG"?.

Phương pháp:

 Áp dụng quy tắc nhân, công thức hoán vị và chỉnh hợp.

Lời giải:

a)    Từ “NGHI” có 4 chữ cái khác nhau.

Số cách sắp xếp theo yêu cầu là: 4!= 24 cách

b)    Từ “NGHIÊN” có 6 chữ cái trong đó có 2 chữ cái N giống nhau.

Chọn  2 vị trí trong 6 vị trí để xếp 2 chữ N vào có \(C_6^2 = 15\)cách

Xếp 4 chữ cái còn lại vào vị trí còn lại có 4!= 24 cách

Số dãy kí tự tạo thành theo yêu cầu là 15. 24= 360 cách

c)    Tương tự như câu b) từ “NGHIÊNG” có 7 chữ cái trong đó có các chữ cái giống nhau là N và G.

Để xếp 7 chữ cái thành 1 dãy kí tự  ta thực hiện lần lượt:

-       Chọn 2 vị trí trí trong 7 vị trí để xếp 2 chữ N vào có \(C_7^2 = 21\) cách

-       Chọn 2 vị trí trí trong 5 vị trí để xếp 2 chữ G vào có \(C_5^2 = 10\)cách

-       Xếp 3 chữ cái còn lại vào 3 vị trí còn lại có 3!= 6 cách

   Số dãy kí tự được tạo thành theo yêu cầu là: 21. 10. 6= 1 260 cách.

Bài 8.36 trang 60 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Tính \({\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)^5}\).

Phương pháp:

Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\).

Lời giải:

 Ta có: \({\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)^5}\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^5} + 5{\left( {\sqrt 3 } \right)^4}\left( {\sqrt 2 } \right) + 10{\left( {\sqrt 3 } \right)^3}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 10{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 5.\left( {\sqrt 3 } \right){\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\\ - \left[ {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^5} + 5{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^4}\left( { - \sqrt 2 } \right) + 10{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^3}{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + 10{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^3} + 5.\left( {\sqrt 3 } \right){{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^4} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^5}} \right]\\ = {\left( {\sqrt 3 } \right)^5} + 5{\left( {\sqrt 3 } \right)^4}\left( {\sqrt 2 } \right) + 10{\left( {\sqrt 3 } \right)^3}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 10{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 5.\left( {\sqrt 3 } \right){\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\\ - \left[ {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^5} - 5{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^4}\left( {\sqrt 2 } \right) + 10{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^3}{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - 10{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3} + 5.\left( {\sqrt 3 } \right){{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^5}} \right]\\ = {\left( {\sqrt 3 } \right)^5} + 5{\left( {\sqrt 3 } \right)^4}\left( {\sqrt 2 } \right) + 10{\left( {\sqrt 3 } \right)^3}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 10{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 5.\left( {\sqrt 3 } \right){\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\\ - {\left( {\sqrt 3 } \right)^5} + 5{\left( {\sqrt 3 } \right)^4}\left( {\sqrt 2 } \right) - 10{\left( {\sqrt 3 } \right)^3}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 10{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} - 5.\left( {\sqrt 3 } \right){\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\\ = 10{\left( {\sqrt 3 } \right)^4}\left( {\sqrt 2 } \right) + 20{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 2{\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\\ = 10.9.\sqrt 2  + 20.3.2.\sqrt 2  + 2.4.\sqrt 2 \\ = 218\sqrt 2 \end{array}\)

Bài 8.37 trang 60 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Giả sử hệ số của x trong khai triển của\({\left( {{x^2} + \frac{r}{x}} \right)^5}\) bằng 640. Xác định giá trị của r. 

Phương pháp:

 Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\).

Lời giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2} + \frac{r}{x}} \right)^5} = {\left( {{x^2}} \right)^5} + 5{\left( {{x^2}} \right)^4}\frac{r}{x} + 10{\left( {{x^2}} \right)^3}{\left( {\frac{r}{x}} \right)^2} + 10{\left( {{x^2}} \right)^2}{\left( {\frac{r}{x}} \right)^3} + 5\left( {{x^2}} \right){\left( {\frac{r}{x}} \right)^4} + {\left( {\frac{r}{x}} \right)^5}\\ = {x^{10}} + 5{x^8}\frac{r}{x} + 10{x^6}{\left( {\frac{r}{x}} \right)^2} + 10{x^4}{\left( {\frac{r}{x}} \right)^3} + 5\left( {{x^2}} \right){\left( {\frac{r}{x}} \right)^4} + {\left( {\frac{r}{x}} \right)^5}\\ = {x^{10}} + 5{x^7}.r + 10{x^4}.{r^2} + 10x.{r^3} + 5.\frac{{{r^2}}}{{{x^2}}} + {\left( {\frac{r}{x}} \right)^5}\end{array}\)

Hệ số của x bằng 640 nên \(10{r^3} = 640 \Leftrightarrow {r^3} = 64 \Leftrightarrow r = 4\)

Sachbaitap.com