Giải SGK Toán 11 trang 20, 21 Cánh Diều tập 1

Bài 1 trang 20 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho \(\cos a = \frac{3}{5}\) với \(0 < a < \frac{\pi }{2}\). Tính: \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right),\,\cos \left( {a - \frac{\pi }{3}} \right),\,\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Phương pháp:

Dựa vào cách dùng công thức cộng để tính

Lời giải:

Ta có:

\({\cos ^2}a + {\sin ^2}a = 1 \Rightarrow \sin a =  \pm \frac{4}{5}\)

Do \(0 < a < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \sin a = \frac{4}{5}\)

\(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{4}{3}\)

Ta có;

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin a.\cos \frac{\pi }{6} + \cos a.\sin \frac{\pi }{6} = \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{3}{5}.\frac{1}{2} = \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{10}}\\\cos \left( {a - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos a.\cos \frac{\pi }{3} + \sin a.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{3}{5}.\frac{1}{2} + \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{10}}\\\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan a + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan a.tan\frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{4}{3} + 1}}{{1 - \frac{4}{3}}} =  - 7\end{array}\)

Bài 2 trang 20 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Tính

\(A = \sin \left( {a - 17^\circ } \right)\cos \left( {a + 13^\circ } \right) - \sin \left( {a + 13^\circ } \right)\cos \left( {a - 17^\circ } \right)\)

\(B = \cos \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right) - \sin \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right)\)

Phương pháp:

Dựa vào công thức cộng để biến đổi

Lời giải:

Bài 3 trang 20 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho \(\tan \left( {a + b} \right) = 3,\,\tan \left( {a - b} \right) = 2\).

Tính: \(\tan 2a,\,\,\tan 2b\)

Phương pháp:

Dựa vào công thức cộng và công thức nhân đôi để tính

Lời giải:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}2a = \left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right) \Rightarrow \tan 2a = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right]\\2b = \left( {a + b} \right) - \left( {a - b} \right) \Rightarrow \tan 2b = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {a - b} \right)} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 - \tan \left( {a + b} \right).\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{3 + 2}}{{1 - 3.2}} =  - 1\\\tan \left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {a - b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) - \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 + \tan \left( {a + b} \right).\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{3 - 2}}{{1 + 3.2}} = \frac{1}{7}\end{array}\)

Vậy \(\tan 2a =  - 1,\,\,\,\tan 2b = \frac{1}{7}\)

Bài 4 trang 20 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho \(\sin a = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\). Tính: \(\cos 2a,\,\cos 4a\)

Phương pháp:

Dựa vào công thức nhân và các tính chất cơ bản của giá trị lượng giác để tính

Lời giải:

Bài 5 trang 20 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho \(\sin a + \cos a = 1\). Tính: \(\sin 2a\)

Phương pháp:

Dựa vào cách khai triển bình phương để tính

Lời giải:

\(\sin a + \cos a = 1 \Rightarrow {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = 1 \)

\(\Leftrightarrow {\sin ^2}a + {\cos ^2} + 2\sin a\cos a = 1 \Leftrightarrow 1 + \sin 2a = 1\) 

\(\Leftrightarrow \sin 2a = 0\)

Bài 6 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho \(\cos 2a = \frac{1}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \). Tính \(\sin a,\,\,\cos a,\,\,\tan a\)

Phương pháp:

Dựa vào công thức nhân đôi và các công thức cơ bản của giá trị lượng giác để tính:

Lời giải:

Bài 7 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho \(\cos 2x = \frac{1}{4}\).

Tính: \(A = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\); \(B = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\)

Phương pháp:

Dựa vào công thức biến tích thành tổng để tính

Lời giải:

\(\begin{array}{l}A = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + \frac{\pi }{6} + x - \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6} - x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right]\\A = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + \cos \frac{\pi }{3}} \right] = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{8}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}B = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + \frac{\pi }{3} + x - \frac{\pi }{3}} \right) - \cos \left( {x + \frac{\pi }{3} - x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]\\B =  - \frac{1}{2}\left( {\cos 2x - \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \right) =  - \frac{3}{8}\end{array}\)

Bài 8 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}\)

Phương pháp:

Dựa vào công thức biến tổng thành tích để tính

Lời giải:

Bài 9 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12m. Biết rằng hai sợi cáp trên cũng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15m (Hình 18)

a)     Tính \(\tan \alpha \), ở đó \(\alpha \) là góc giữa hai sợi cáp trên

b)     Tìm góc \(\alpha \) (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị theo đơn vị độ)

Phương pháp:

Dựa vào công thức cộng để tính

Lời giải:

a)     Ta có:

\(\begin{array}{l}\tan \widehat {AOB} = \frac{{AH}}{{HO}} = \frac{{14}}{{15}}\\\tan \beta  = \frac{{BH}}{{HO}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\end{array}\)

Ta có: \(\tan \alpha  = \tan \left( {\widehat {AOB} - \beta } \right) = \frac{{\tan \widehat {AOB} - \tan \beta }}{{1 + \tan \widehat {AOB.}\tan \beta }} = \frac{{\frac{{14}}{{15}} - \frac{4}{5}}}{{1 + \frac{{14}}{{15}}.\frac{4}{5}}} = \frac{{10}}{{131}}\)

b)     \(\tan \alpha  = \frac{{10}}{{131}} \Rightarrow \alpha  = 4^\circ \)

Bài 10 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là \(HK = 20m\). Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (Hình 19). Hãy tính số đo góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là \(CK = 32m,AH = 6m,BH = 24m\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).

Phương pháp:

Dựa vào công thức cộng để tính

Lời giải:

Sachbaitap.com