Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 15 trang 130, 131 SGK Toán 8 tập 2 - Bài tập ôn cuối năm - A - Phần Đại Số

Bài 1 trang 130 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) a² – b² – 4a + 4;

b) x² + 2x – 3;

c) 4x²y² – (x² + y²)² ;

d) 2a³ – 54b³.

Phương pháp:

Áp dụng hằng đẳng thức để phân tích các đa thức thành nhân tử.

Lời giải:

a) a² – b² – 4a + 4

= a² – 4a + 4 – b²

= (a – 2)² – b²

= (a – 2 + b)(a – 2 – b)

= (a + b – 2)(a – b – 2)

b) x² + 2x – 3

= x² + 2x + 1 – 4

= (x + 1)² – 2²

= (x + 1 + 2)(x + 1 – 2)

= (x + 3)(x – 1)

c) 4x²y² – (x² + y²)²

= (2xy)² – (x² + y²)²

= (2xy + x² + y²)(2xy - x² - y²)

= - (x² + 2xy + y²)(x² - 2xy + y²)

= -(x + y)² .(x - y)²

d) 2a³ – 54b³

= 2(a³ – 27b³)

= 2[a³ – (3b)³]

= 2(a – 3b)(a² + 3ab + 9b²)

Bài 2 trang 130 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

a) Thực hiện phép chia:

   (2x⁴ – 4x³ + 5x² + 2x – 3):(2x² - 1)

b) Chứng tỏ rằng thương tìm được trong phép chia trên luôn luôn dương với mọi giá trị của x.

Phương pháp:

a.- Áp dụng qui tắc chia đa thức cho đa thức.

b. Để chứng tỏ rằng thương tìm được trong phép chia trên luôn luôn dương với mọi giá trị của \(x\) ta đưa thương về dạng \({A^2} + k > 0\) với mọi \(x\) và \(k>0\) 

Lời giải:

a) Thực hiện phép chia

Vậy (2x⁴ – 4x³ + 5x² + 2x – 3) : (2x² – 1) = x² – 2x + 3.

b) Ta có:

   x² – 2x + 3

= x² – 2x + 1 + 2

= (x – 1)² + 2

Vì (x – 1)² ≥ 0 với ∀ x

⇒ x² – 2x + 3 = (x – 1)² + 2 ≥ 2 > 0 với ∀ x

Vậy thương tìm được luôn luôn dương với mọi giá trị của x.

Bài 3 trang 130 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất chia hết của \(1\) tổng cho \(1\) số.

Lời giải:

Gọi hai số lẻ bất kì là 2a + 1 và 2b + 1 (a, b ∈ Z).

Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng:

   (2a + 1)² – (2b + 1)²

= (4a² + 4a + 1) – (4b² + 4b + 1)

= (4a² + 4a) – (4b² + 4b)

= 4a(a + 1) – 4b(b + 1)

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2

⇒ a.(a + 1) ⋮ 2 và b.(b + 1) ⋮ 2.

⇒ 4a(a + 1) ⋮ 8 và 4b(b + 1) ⋮ 8

⇒ 4a(a + 1) – 4b(b + 1) ⋮ 8.

Vậy (2a + 1)² – (2b + 1)² chia hết cho 8 (đpcm).

Bài 4 trang 130 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau tại x =

Phương pháp:

- Qui đồng cùng mẫu thức rồi rút gọn biểu thức.

- Thay giá trị tương ứng của \(x\) vào biểu thức sau khi đã rút gọn để tính giá trị của biểu thức đó.

Lời giải:

Rút gọn biểu thức:

Bài 5 trang 130 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Chứng minh rằng:

Phương pháp:

Ta chứng minh hiệu hai vế bằng \(0\).

Sử dụng hằng đẳng thức số 3: \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)

Lời giải:

Bài 6 trang 130 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức M có giá trị là một số nguyên: 

Phương pháp:

Để \(M\) nguyên thì tử số phải chia hết cho mẫu số.

Lời giải:

+ 2x – 3 = 1 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2.

+ 2x – 3 = -1 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1.

+ 2x – 3 = 7 ⇔ 2x = 10 ⇔ x = 5

+ 2x – 3 = -7 ⇔ 2x = -4 ⇔ x = -2.

Vậy với x ∈ {-2; 1; 2; 5} thì giá trị biểu thức M là một số nguyên.

Bài 7 trang 130 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

giải các phương trình:

Phương pháp:

- Qui đồng, khử mẫu các phân thức.

- Chuyển các hạng tử chứa sang vế trái, các hạng tử tự do sang vế phải.

- Rút gọn, tìm \(x\).

- Kết luận.

Lời giải:

⇔ 21(4x + 3) – 15(6x – 2) = 35(5x + 4) + 105.3

⇔ 84x + 63 – 90x + 30 = 175x + 140 + 315

⇔ 84x – 90x – 175x = 140 + 315 – 63 – 30

⇔ -181x = 362

⇔ x = -2.

⇔ 15(2x – 1) – 2(3x + 1) + 20 = 8(3x + 2)

⇔ 30x – 15 – 6x – 2 + 20 = 24x + 16

⇔ 30x – 6x – 24x = 16 – 20 + 15 + 2

⇔ 0x = 13 (vô lí).

Vậy phương trình vô nghiệm.

⇔ 4(x + 2) + 9(2x – 1) – 2(5x – 3) = 12x + 5

⇔ 4x + 8 + 18x – 9 – 10x + 6 = 12x + 5

⇔ 4x + 18x – 10x – 12x = 5 – 8 + 9 – 6

⇔ 0x = 0 (luôn đúng với mọi x).

Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi x.

Bài 8 trang 130 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

 giải các phương trình sau:

Phương pháp:

Áp dụng bài toán: |A(x)| = B(x)

\(A(x) = B(x)\) với \( A(x) ≥ 0\)

hoặc \( -A(x) = B(x)\) với \(A(x) < 0\)

Lời giải:

Bài 9 trang 130 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

giải các phương trình:

Phương pháp:

Cộng hai vế với 2, biến đổi để xuất hiện nhân tử chung sau đó đưa về dạng phương trình tích.

Lời giải:

Bài 10 trang 131 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

 Giải phương trình sau:

Phương pháp:

- Tìm điều kiện xác định.

- Qui đồng khử mẫu.

- Rút gọn rồi tìm nghiệm \(x\).

- Đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận nghiệm.

Lời giải:

Suy ra: x – 2 – 5x – 5 = -15

⇔ x – 2 – 5x – 5 + 15 = 0

⇔ - 4x + 8 = 0

⇔ - 4x = - 8

⇔ x = 2 (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

 Suy ra: (x - 1).(x - 2) – x(x + 2) = -5x + 2

⇔ x² – 2x – x + 2 – x² – 2x + 5x – 2 = 0

⇔ 0x = 0 nghiệm đúng với mọi x.

Kết hợp với điều kiện xác định,

⇒ phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x ≠ ±2.

Bài 11 trang 131 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

 Giải các phương trình sau:

Phương pháp:

a.

- Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích.

- Tìm \(x\)

- Kết luận

b. 

- Tìm điều kiện xác định.

- Qui đồng khử mẫu.

- Rút gọn rồi tìm nghiệm \(x\).

- Đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận nghiệm

Lời giải:

 Suy ra: 5(x – 3)(x- 4) + 5(x-2)² = 16(x - 2). (x- 4)

⇔ 5(x² – 4x – 3x +12) + 5(x² – 4x+ 4) = 16(x² - 4x – 2x + 8)

 ⇔ 5(x² – 7x + 12) + 5x² – 20x+ 20) = 16(x² - 6x + 8)

 5x² – 35x+ 60 + 5x² - 20x + 20 = 16x² – 96x + 128

⇔ 10x² -55x + 80 = 16x² – 96x + 128

⇔ 10x² -55x + 80 - 16x² + 96x - 128 = 0

⇔ - 6x² + 41x – 48 = 0

⇔ 6x² - 41x + 48 = 0

⇔ 6x² – 9x – 32x + 48 = 0

⇔ 3x(2x – 3) – 16.(2x – 3) = 0

⇔ (3x – 16)(2x – 3) = 0

Bài 12 trang 131 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt ẩn đường AB làm, biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn.

- Bước 2: Từ điều kiện để thiết lập phương thức biểu diễn mối quan hệ giữa các đại học.

- Bước 3: Tìm ẩn.

- Bước 4: Kết luận.

Lời giải:

Bài 13 trang 131 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

 Một xí nghiệp dự định sản xuất 1500 sản phẩm trong 30 ngày. Nhưng nhờ tổ chức lao động hợp lý nên thực tế đã sản xuất mỗi ngày vượt 15 sản phẩm. Do đó xí nghiệp đã sản xuất không những vượt mức dự định 255 sản phẩm mà còn hoàn thành trước thời hạn. Hỏi thực tế xí nghiệp đã rút ngắn được bao nhiêu ngày?

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt số ngày rút bớt làm ẩn, biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn.

- Bước 2: Từ điều kiện của để bài lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

- Bước 3: Tìm ẩn.

- Bước 4: Kết luận.

Lời giải:

Bài 14 trang 131 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Giải các phương trình sau:

Phương pháp:

a) Tìm ĐKXĐ, tìm mẫu thức chung sau đó qui đồng và rút gọn biểu thức. 

b) \(|x| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \dfrac{1}{2} \hfill \\
x = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ 
\end{gathered} \right.\)

Thay giá trị tương ứng của x vào biểu thức đã được rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức đó.

c) Giải bất phương trình với vế trái là biểu thức \(A\) vế phải là \(0\)

Lời giải:

Bài 15 trang 131 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Giải bất phương trình sau:

Phương pháp:

- Bước 1: Chuyển tất cả các phần tử sang trái.

- Bước 2: Qui đồng cùng một chung thức mẫu.

- Bước 3: Rút gọn, tìm nghiệm của bất phương trình.

- Bước 4: Kết luận.

Lời giải:

Sachbaitap.com