Bài 1, 2, 3 trang 7 SGK Toán 9 tập 2 - Phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1 trang 7 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Trong các cặp số \((-2; 1)\), \((0;2)\), \((-1; 0)\), \((1,5; 3)\) và \((4; -3)\), cặp số nào là nghiệm của phương trình:

a) \(5x + 4y = 8\) ?                            b) \(3x + 5y = -3\) ?

Lời giải:

a) +) Xét cặp số \((-2;\ 1)\). Thay \(x=-2;y=1\) vào phương trình \(5x+4y=8\) ta được 

\(\left\{ \matrix{
VT = 5.\left( { - 2} \right) + 4.1 = - 6 \hfill \cr
VP = 8 \hfill \cr} \right. \Rightarrow VT \ne VP\)

\(\Rightarrow (-2; 1)\) không là nghiệm của phương trình \(5x+4y=8\).

+) Xét cặp số \((0;\ 2)\). Thay \(x=0;y=2\) vào phương trình \(5x+4y=8\) ta được

\(\left\{ \matrix{
VT = 5.0 + 4.2 = 8 \hfill \cr 
VP = 8 \hfill \cr} \right. \Rightarrow VT = VP\)

\(\Rightarrow (0; 2)\) là nghiệm của phương trình \(5x+4y=8\).

+) Xét cặp số \((-1;\ 0)\). Thay \(x=-1;y=0\) vào phương trình \(5x+4y=8\) ta được

\(\left\{ \matrix{
VT = 5.\left( { - 1} \right) + 4.0 = - 5 \hfill \cr 
VP = 8 \hfill \cr} \right. \Rightarrow VT \ne VP\)

\(\Rightarrow (-1; 0)\) không là nghiệm của phương trình \(5x+4y=8\).

+) Xét cặp số \((1,5;\ 3)\). Thay \(x=1,5;y=3\) vào phương trình \(5x+4y=8\) ta được

\(\left\{ \matrix{
VT = 5.1,5 + 4.3 = 19,5 \hfill \cr 
VP = 8 \hfill \cr} \right. \Rightarrow VT \ne VP\)

\(\Rightarrow (1,5; 3)\) không là nghiệm của phương trình \(5x+4y=8\).

+) Xét cặp số \((4;\ -3)\). Thay \(x=4;y=-3\) vào phương trình \(5x+4y=8\) ta được

\(\left\{ \matrix{
VT = 5. 4 + 4.\left( { - 3} \right) = 8 \hfill \cr 
VP = 8 \hfill \cr} \right. \Rightarrow VT = VP\)

\(\Rightarrow (4; -3)\)  là nghiệm của phương trình \(5x+4y=8\).

Vậy có hai cặp số \((0; 2)\) và \((4; -3)\) là nghiệm của phương trình \(5x + 4y = 8\).

b) +) Xét cặp số \((-2;\ 1)\). Thay \(x=-2;y=1\) vào phương trình \(3x+5y=-3\) ta được

\(\left\{ \matrix{
VT = 3.\left( { - 2} \right) + 5.1 = -1 \hfill \cr 
VP = -3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow VT \ne VP\)

\(\Rightarrow (-2; 1)\) không là nghiệm của phương trình \(3x+5y=-3\) .

+) Xét cặp số \((0;\ 2)\). Thay \(x=0;y=2\) vào phương trình \(3x+5y=-3\) ta được

\(\left\{ \matrix{
VT = 3.0 + 5.2 = 10 \hfill \cr 
VP = -3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow VT \ne VP\)

\(\Rightarrow (0; 2)\) không là nghiệm của phương trình \(3x+5y=-3\) .

+) Xét cặp số \((-1;\ 0)\). Thay \(x=-1;y=0\) vào phương trình \(3x+5y=-3\) ta được

\(\left\{ \matrix{
VT = 3.\left( { - 1} \right) + 5.0 = - 3 \hfill \cr 
VP = -3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow VT = VP\)

\(\Rightarrow (-1; 0)\) là nghiệm của phương trình \(3x+5y=-3\) .

+) Xét cặp số \((1,5;\ 3)\). Thay \(x=1,5;y=3\) vào phương trình \(3x+5y=-3\) ta được

\(\left\{ \matrix{
VT = 3.1,5 + 5.3 = 19,5 \hfill \cr 
VP = -3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow VT \ne VP\)

\(\Rightarrow (1,5; 3)\) không là nghiệm của phương trình \(3x+5y=-3\) .

+) Xét cặp số \((4;\ -3)\). Thay \(x=4;y=-3\) vào phương trình \(3x+5y=-3\) ta được

\(\left\{ \matrix{
VT = 3. 4 + 5.\left( { - 3} \right) = -3 \hfill \cr 
VP = -3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow VT = VP\)

\(\Rightarrow (4; -3)\) là nghiệm của phương trình \(3x+5y=-3\) .

Vậy có hai cặp số \((-1; 0)\) và \((4; -3)\) là nghiệm của phương trình \(3x + 5y = -3\).

Bài 2 trang 7 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:

a) \(3x - y = 2\)

b) \( x + 5y = 3\)

c) \(4x - 3y = -1\)

d) \(x  +5y = 0\)

e) \(4x + 0y = -2\)

f) \(0x + 2y = 5\)

Lời giải:

a) 

Ta có phương trình \(3x - y = 2 \Leftrightarrow y=3x -2\). Nghiệm tổng quát của phương trình là:   

\(\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = 3x - 2 & & \end{matrix}\right.\)

* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(y = 3x - 2\) :

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - 2\) ta được \(A(0; -2)\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = \dfrac{2}{3}\) ta được \(B {\left(\dfrac{2}{3}; 0 \right)}\).

Biểu diễn cặp điểm \(A(0; -2)\) và \(B{\left(\dfrac{2}{3}; 0 \right)}\) trên hệ trục tọa độ và đường thẳng \(AB\) chính là tập nghiệm của phương trình \(3x - y = 2\).

b) 

Ta có phương trình \(x + 5y = 3 \Leftrightarrow x=-5y+3\). Nghiệm tổng quát của phương trình là:

\(\left\{\begin{matrix} x = -5y + 3 & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\) 

* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(x=-5y+3\) :

+) Cho  \(x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{3}{5}\) ta được \(C {\left( 0; \dfrac{3}{5} \right)}\).

+) Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 3\) ta được \(D\left( {3;0} \right)\).

Biểu diễn cặp điểm \(C {\left( 0; \dfrac{3}{5} \right)}\), \(D\left( {3;0} \right)\) trên hệ trục toa độ và đường thẳng \(CD\) chính là tập nghiệm của phương trình.

c) 

Ta có phương trình \(4x - 3y = -1 \Leftrightarrow 3y=4x+1 \Leftrightarrow y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{1}{3}\). Nghiệm tổng quát của phương trình là:

\(\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = \dfrac{4}{3}x + \dfrac{1}{3}& & \end{matrix}\right.\)

* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(4x-3y=-1\)

+) Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{1}{3}\) ta được \(A {\left(0;\dfrac{1}{3} \right)}\)

+) Cho \(y = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{4}\) ta được \(B {\left(-\dfrac{1}{4};0 \right)}\)

Biểu diễn cặp điểm \(A {\left(0; \dfrac{1}{3} \right)}\) và \(B {\left(-\dfrac{1}{4}; 0 \right)}\) trên hệ tọa độ và đường thẳng \(AB\) chính là tập nghiệm của phương trình \(4x-3y=-1\).

d)

Ta có phương trình \(x + 5y = 0 \Leftrightarrow x=-5y\). Nghiệm tổng quát của phương trình là:

\(\left\{\begin{matrix} x = -5y & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\)

* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(x+5y=0\)

+) Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 0\) ta được \(O\left( {0;0} \right)\)

+) Cho \(y = 1 \Rightarrow x = -5\) ta được \(A\left( {-5;1}\right)\).

Biểu diễn cặp điểm \(O (0; 0)\) và \(A (-5; 1)\) trên hệ tọa độ và đường thẳng OA chính là tập nghiệm của phương trình \(x+5y=0\).

e)

Ta có phương trình \(4x + 0y = -2 \Leftrightarrow 4x=-2 \Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}\). Nghiệm tổng quát của phương trình là:

\(\left\{\begin{matrix} x = -\dfrac{1}{2} & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\)

Tập nghiệm là đường thẳng \(x = -\dfrac{1}{2}\) đi qua \(A {\left(-\dfrac{1}{2}; 0 \right)} \) và song song với trục tung.

f)

\(0x + 2y = 5 \Leftrightarrow 2y=5 \Leftrightarrow y=\dfrac{5}{2}.\) Nghiệm tổng quát của phương trình là:

\(\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = \dfrac{5}{2} & & \end{matrix}\right.\)

Tập nghiệm là đường thẳng \(y = \dfrac{5}{2} \) đi qua \(A {\left( 0;\dfrac{5}{2} \right)} \) và song song với trục hoành.

Bài 3 trang 7 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho hai phương trình x + 2y = 4 và x - y = 1. Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đó trên cùng một hệ trục tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và cho biết tọa độ của nó là nghiệm của các phương trình nào.

Phương pháp:

1) Cho phương trình: \(ax+by=c, \ (b \ne 0)\). Biến đổi \(ax+by=c \Leftrightarrow y=-\dfrac{a}{b}x+c\).

+) Cho \(x=0 \Rightarrow y=c\). Đường thẳng đi qua điểm \(A(0; c)\)

+) Cho \(y=0 \Rightarrow x=\dfrac{b.c}{a} \). Đường thẳng đi qua điểm \(B{\left( \dfrac{b.c}{a}; 0 \right)} \)

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng đi qua hai điểm \(A,\ B\).

2) Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng \(y=ax+b\) và \(y=a'x+b'\) là nghiệm của phương trình: \(ax+b=a'x+b'\). Giải phương trình tìm được \(x\) thay vào một trong hai phương trình trên tìm được tung độ giao điểm.

Lời giải:

- Vẽ đường thẳng x + 2y = 4.

   + Với x = 0 ⇒ y = 2. Đường thẳng đi qua điểm (0; 2).

   + Với y = 0 ⇒ x = 4. Đường thẳng đi qua điểm (4; 0).

Đường x + 2y = 4 là đường thẳng đi qua điểm (0; 2) và (4; 0).

- Vẽ đường thẳng x – y = 1

   + Với x = 0 ⇒ y = -1. Đường thẳng đi qua điểm (0; -1).

   + Với y = 0 ⇒ x = 1. Đường thẳng đi qua điểm (1; 0).

Đường x – y = 1 là đường thẳng đi qua điểm (0 ; -1) và (1 ; 0).

- Giao điểm của hai đường thẳng là điểm A có tọa độ là (2; 1).

Sachbaitap.com