Bài 16 trang 226 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3 ; 3 ; 1), B(0 ; 2 ; 1) và mặt phẳng \(\left( P \right):x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

1. Viết phương trình đựờng thẳng AB.

2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P).

3. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) mà mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B.

4. Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và d.

5. Tìm điểm K thuộc đường thẳng AB \(\left( {K \ne B} \right)\) sao cho

                            \(d\left( {K,\left( P \right)} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {B,\left( P \right)} \right).\)

6. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

Giải

1. Đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁(0;2;-4) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1; - 1;2).\) thẳng d₂ đi qua điểm M₁(-8;6;10) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = (2;1; - 1).\)

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 1;5;3),\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 8;4;14) \)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 70 \ne 0\)

\( \Rightarrow {d_1},{d_2}\) chéo nhau.

2. Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa d₂ và song song với d₁. Khi đó \(mp(\alpha )\) qua điểm \({M_2}( - 8;6;10)\) và có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 1;5;3)\)

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right):x - 5y - 3z + 68 = 0.\)

3. \(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d({M_1},\left( \alpha  \right) \)

                      \(= {{\left| {0 - 10 + 12 + 68} \right|} \over {\sqrt {1 + 25 + 9} }} = {{70} \over {\sqrt {35} }} = 2\sqrt {35} .\)

4. Viết lại phương trình đường thẳng \({d_1},{d_2}\) dưới dạng tham số. Từ đó :

\(M \in {d_1}\) nên M=(t;2-t;-4+2t)

\(N \in {d_2}\) nên N=(-8+2t’;6+t’;10-t’)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = ( - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t).\)

Đường thẳng MN sẽ là đường thẳng d phải tìm khi \(MN\parallel Ox\) hay hai vec tơ \(\overrightarrow {MN} \)và \(\overrightarrow i (1;0;0)\) cùng phương, nghĩa là

\(\left\{ \matrix{  t' + t =  - 4 \hfill \cr  t' + 2t = 14 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  t = 18 \hfill \cr  t' =  - 22. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy M=(18;-16;32) và đường thẳng d phải tìm có phương trình tham số :

\(d:\left\{ \matrix{  x = 18 + t \hfill \cr  y =  - 16 \hfill \cr  z = 32. \hfill \cr}  \right.\)

5.

\(\eqalign{  & A \in {d_1} \Rightarrow A = (t;2 - t; - 4 + 2t),  \cr  & B \in {d_2} \Rightarrow B = ( - 8 + 2t';6 + t';10 - t'),  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = ( - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t).  \cr  & \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{u_1}}  \Leftrightarrow 6t + t' = 16,  \cr  & \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow t + 6t' = 26. \cr} \)

Giải hệ \(\left\{ \matrix{  6t + t' = 16 \hfill \cr  t + 6t' = 26 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  t = 2 \hfill \cr  t' = 4 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Rightarrow  A = (2;0;0) ; B = (0;10;6). \)

Suy ra mặt cầu đườn kính AB có tâm I=(1;5;3), bán kính bằng \(\sqrt {35} \). Phương trình của nó là :

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 35.\)

Sachbaitap.com