Bài 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 trang 75, 76 SGK Toán 9 tập 2 - Luyện tập

Bài 19 trang 75 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho một đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\) và \(S\) là một điểm nằm ngoài đường tròn. \(SA\) và \(SB\) lần lượt  cắt đường tròn tại \(M, N\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(BM\) và \(AN\). Chứng minh rằng \(SH\) vuông góc với \(AB\).

Phương pháp: 

Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông để chỉ ra các đường cao của tam giác \(SAB.\)

Sử dụng tính chất trực tâm để suy ra \(SH \bot AB.\) 

Lời giải:

Xét đường tròn tâm \(O\) có \(AB\) là đường kính nên \(\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(BM \bot SA;\,AN \bot SB\) mà \(BM \cap AN\) tại \(H\)  nên \(H\) là trực tâm tam giác \(SAB.\)

Do đó \(SH \bot AB.\) (vì trong một tam giác ba đường cao đồng quy) 

Bài 20 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\). Vẽ các đường kính \(AC\) và \(AD\) của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm \(C, B, D\) thẳng hàng.

Phương pháp:

Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Từ đó chứng minh \(\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 180^\circ \) 

Lời giải:

Nối \(B\) với 3 điểm \(A, C, D\).

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ABC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ .\)

Xét đường tròn \(\left( {O'} \right)\) có \(\widehat {ABD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ABD} = 90^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) nên \(\widehat {CBD} = 180^\circ  \Rightarrow C,B,D\) thẳng hàng.

Bài 21 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

 Cho hai đường tròn bằng nhau \((O)\) và \((O')\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\). Vẽ đường thẳng qua \(A\) cắt \(O\) tại \(M\) và cắt \((O')\) tại \(N\) ( \(A\) nằm giữa \(M\) và \(N\)). Hỏi \(MBN\) là tam giác gi? Tại sao? 

Lời giải:

Vì hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) bằng nhau nên cung \(AB\) của \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) bằng nhau

Suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {ANB}\) (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau)

Do đó tam giác \(BMN\) là tam giác cân tại \(B.\) 

Bài 22 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Trên đường tròn \((O)\) đường kính \(AB\), lấy điểm \(M\) (khác \(A\) và \(B\)). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại \(A\). Đường thẳng \(BM\) cắt tiếp tuyến đó tại \(C\). Chứng minh rằng ta luôn có: \(M{A^2} = MB.MC\)

Lời giải:

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(AM \bot BC\)

Lại có \(AC\) là tiếp tuyến tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(M{A^2} = MB.MC\) (đpcm) 

Cách khác:

+ Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(AM \bot BC \Rightarrow \widehat {CMA} = 90^\circ \).

 Lại có \(AC\) là tiếp tuyến nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ .\)

+ Ta có \(\widehat {MBA} + \widehat {MAB} = 90^\circ \) (vì tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) ) và \(\widehat {MAB} + \widehat {MAC} = 90^\circ \) (do \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)) nên \(\widehat {MBA} = \widehat {MAC}\)

+ Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MCA\) có \(\widehat M\) chung và \(\widehat {MBA} = \widehat {MAC}\) (cmt) nên \(\Delta {\rm M}{\rm A}{\rm B}\) đồng dạng với \(\Delta MCA\left( {g - g} \right)\) suy ra \(\dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{MB}}{{MA}} \Rightarrow M{A^2} = MB.MC\) (đpcm)

Bài 23 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho đường tròn \((O)\) và một điểm \(M\) cố định không nằm trên đường tròn. Qua \(M\) kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt \((O)\) tại \(A\) và \(B\).Đường thẳng thứ nhất cắt \((O)\) tại \(C\) và \(D\).

Chứng minh \(MA. MB = MC. MD\)

Lời giải: 

Xét hai trường hợp:

a) \(M\) ở bên trong đường tròn (hình a)

Xét hai tam giác \(MAD\) và \(MCB\) có:

              \(\widehat{AMD}\) = \(\widehat{CMB}\) ( đối đỉnh)

              \(\widehat{ADM}\) = \(\widehat{CBM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung  \(AC\)).

Do đó \(∆MAD\) đồng dạng \(∆MCB\) (g-g), suy ra:

\(\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}\) ( 2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Do đó \(MA. MB = MC. MD\)

b) M ở bên ngoài đường tròn (hình b)

Tương tự, xét hai tam giác \(MAD\) và \(MCB\) có:

     \(\widehat{M}\) chung  

     \(\widehat{MDA}\) = \(\widehat{MBC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)).

Nên \(∆MAD\) đồng dạng \(∆MCB\) (g-g)

Suy ra:     \(\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}\)( 2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Do đó: \(MA. MB = MC. MD\)

Bài 24 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 có độ dài \(AB = 40\)m, chiều cao \(MK = 3\)m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung \(AMB\)

Lời giải:

Gọi \(MN = 2R\) là đường kính của đường tròn có cung tròn là \(AMB\) 

Theo kết quả của bài tập 23, ta có: \(KA. KB = KM. KN\)

hay \(KA. KB = KM. (2R - KM)\)

Ta có: \(KA = KB = 20 m\)

Thay số, ta có: \(20. 20 = 3(2R - 3)\)

do đó \(6R = 400 + 9 = 409\). 

Vậy \(R\) = \(\dfrac{409}{6}\) \(≈68,2\) (mét)

Bài 25 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

 Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài \(4\)cm và một cạnh góc vuông dài \(2,5\) cm.

Lời giải:

Cách vẽ như sau:

- Vẽ đoạn thẳng \(BC\) dài \(4cm\).

- Vẽ nửa đưởng tròn đường kính \(BC\). 

- Vẽ dây \(AB\) dài \(2,5cm\).

Ta có tam giác thỏa mãn các yêu cầu của đầu bài.

( \(\widehat{A}\)=\(90^{\circ}\), \(BC = 4cm, AB = 2,5cm\))

Bài 26 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC.Gọi giao điểm của MN và AC là S.Chứng minh SM = SC và SN = SA.

Phương pháp: 

Ta sử dụng các kiến thức sau:

+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

Từ đó chỉ ra các góc bằng nhau để có tam giác \(SMC,SAN\) cân, suy ra các cặp cạnh bằng nhau. 

Lời giải:

Vì M là điểm nằm chính giữa của \(\overparen{AB}\) nên \(\overparen{BM}=\overparen{AM}\) 

+) Chứng minh SM = SC

Vì MN // BC nên \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{C_2}}\) (2 góc so le trong)

Trong đường tròn (O): \(\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\) (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau \(\overparen{BM}=\overparen{AM}\) ) 

Nên suy ra \(\widehat{{{M}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\)

Suy ra tam giác SMC là tam giác cân tại S. Vậy \(SM = SC.\)

+) Chứng minh SA = SN

Trong đường tròn (O):

\(\widehat {{M_1}} = \widehat {{A_1}}\)( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung NC)(1)

\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{N_1}}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM)(2)

Mà \(\widehat{{{M}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\) (chứng minh trên)(3)

Từ (1),(2) và (3) \(\Rightarrow\) \(\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{N}_{1}}}\)

Vậy tam giác SAN cân tại S. Nên \(SA = SN\) (đpcm)

Sachbaitap.com