Bài 27, 28, 29, 30 trang 79 SGK Toán 9 tập 2 - Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Bài 27 trang 79 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho đường tròn tâm \((O)\), đường kính \(AB\). Lấy điểm khác \(A\) và \(B\) trên đường tròn. Gọi \(T\) là giao điểm của \(AP\) với tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn. Chứng minh:   \(\widehat{APO}\) =\(\widehat{PBT}.\)

Lời giải:

 Trong đường tròn (O), ta có:

+) \(\widehat{PBT}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến \(BT\) và dây cung \(BP\) chắn cung \(\overparen{PmB}\).

\(\Rightarrow \widehat{PBT} = \dfrac{1}{2} sđ \overparen{PmB}\)   (1)

+) \(\widehat{PAO}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\overparen{PmB}\)

\(\Rightarrow \widehat{PAO} = \dfrac{1}{2} sđ \overparen{PmB}\)   (2)

Mặt khác: \(\widehat{PAO}= \widehat{APO}\) (\(∆OAP \, \, cân\, \,  tại \, \,  O)\) (3)

Từ (1), (2), (3)\(\Rightarrow\) \(\widehat{APO} =\widehat{PBT}\) (đpcm)

Bài 28 trang 79 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\). Tiếp tuyến \(A\) của đường tròn \((O')\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai \(P\). Tia \(PB\) cắt đường tròn \((O')\) tại \(Q\). Chứng minh đường thẳng \(AQ\) song song với tiếp tuyến tại \(P\) của đường tròn \((O).\)

Lời giải:

Nối \(AB\).

Xét đường tròn \((O')\) ta có: \(\widehat {AQB} = \widehat {PAB}\)   (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AB\)).(1)

Xét đường tròn \((O)\) ta có: \(\widehat {PAB} = \widehat {BPx}\)  (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(PB\)).(2)

Từ (1) và (2) có \(\widehat {AQB} = \widehat {BPx} \, (cùng = \widehat {PAB}).\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow AQ // Px. \)

Bài 29 trang 79 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\). Tiếp tuyến kẻ từ \(A\) đối với đường tròn (O') cắt (O) tại \(C\) đối với đường tròn \((O)\) cắt \((O')\) tại \(D\).

Chứng minh rằng \(\widehat {CBA} = \widehat {DBA}\).

Lời giải:

Xét đường tròn \( (O')\) có \(\widehat {ADB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\overparen{AmB}\)

\(\widehat {CAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(\overparen{AmB}\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat {ADB} = \widehat {CAB}\) (1)

Xét đường tròn \((O)\) có \(\widehat {ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\overparen{AnB}\)

\(\widehat{BAD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(\overparen{AnB}\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat {ACB} = \widehat {BAD}\)(2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\) \(\widehat {BAD} = \widehat {ACB}\)   (**)

Xét tam giác \(ABD\) và \(CBA\) có:

\(\widehat {CAB} = \widehat {ADB}\) (theo (*))

\(\widehat {ACB} = \widehat {BAD}\) (theo (**))

nên  \(\Delta ACB \backsim \Delta DAB\left( {g - g} \right)  \) suy ra \(\widehat {CBA} = \widehat {DBA}\) (hai góc tương ứng) (đpcm).

Bài 30 trang 79 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:

Nếu \(\widehat{ BAx}\) (với đỉnh \(A\) nằm trên một đường tròn, một cạnh chứa dây cung \(AB\)), có số đo bằng nửa số đo của \(\overparen{AB}\) căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh \(Ax\) là một tia tiếp tuyến của đường tròn (h.29).

Phương pháp:

+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn.

Lời giải:

(hình a). Chứng minh trực tiếp

Kẻ \(OH \bot AB\) tại \(H\) và cắt \((O)\) tại \(C\) như hình vẽ.

Suy ra \(H\) là trung điểm của \(AB\) và \(C\) là điểm chính giữa cung \(AB\).

Theo giả thiết ta có: \(\widehat {BAx} = \dfrac{1}{2}sđ \overparen{AB}.\) ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AB)

Lại có: \(  \widehat {{O_1}}=sđ \overparen{AC}= \dfrac{1}{2}sđ \overparen{AB} \) (góc ở tâm chắn cung \(AC\)).

Suy ra: \(\widehat {BAx} = \widehat {{O_1}}.\) 

Ta có: \(\widehat {{O_1}}+ \widehat {{OAB}} =90^0\) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông \(OAH\)).

\(\Rightarrow \widehat {BAx}+ \widehat {{OAB}} =90^0  \) hay  \(OA \bot Ax.\) 

Vậy \(Ax\) phải là tiếp tuyến của \((O)\) tại \(A.\)

Sachbaitap.com