Bài 39, 40, 41, 42, 43 trang 83 SGK Toán 9 tập 2 - Luyện tập

Bài 39 trang 83 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). Trên cung nhỏ BD lây một điểm M . Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S.Chứng minh ES = EM.

Phương pháp: 

+) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Lời giải:

Xét đường tròn \((O)\) có hai đường kính \(AB \bot CD\) nên \( \widehat{AOC}=\widehat{BOC}=90^0\) nên \(\overparen{CA}=\overparen{CB}.\)(1)

+) Ta có \( \widehat{MSE}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung \(AC\) và cung \(BM.\)

\(\Rightarrow \widehat{MSE} = \dfrac{sđ\overparen{CA}+sđ\overparen{BM}}{2}\)   (2)

+) \(\widehat{CME} \) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(CM\)

\(\Rightarrow \widehat{CME}= \dfrac{sđ\overparen{CM}}{2}= \dfrac{sđ\overparen{CB}+sđ\overparen{BM}}{2}\) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: \(\widehat{MSE} = \widehat{CME}\) nên \(∆ESM\)  cân tại \(E\) và \(ES = EM\) (đpcm).

Bài 40 trang 83 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Qua điểm \(S\) nằm bên ngoài đường tròn \((O)\), vẽ tiếp tuyến \(SA\) và cát tuyến \(SBC\) của đường tròn. Tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt dây \(BC\) tại \(D.\) Chứng minh \(SA = SD.\)

Lời giải:

Gọi \(E\) là giao điểm thứ hai của \(AD\) với đường tròn \((O).\)

Xét đường tròn \((O)\) ta có: 

 +) \(\widehat{ADS}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung \(AB\) và \(CE.\)

\(\Rightarrow \widehat {ADS}=\dfrac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CE}}{2}.\)  (1)

+) \(\widehat{SAD}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AE.\)

\(\Rightarrow \widehat {SAD}=\dfrac{1}{2} sđ\overparen{AE}.\)  (2)

+) Có: \(\widehat {BAE} = \widehat {EAC}\) (do \(AE\) là phân giác góc \(BAC\))

\(\Rightarrow \) \(\overparen{BE}=\overparen{EC}\) (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau).

\(\Rightarrow sđ\overparen{AB} + sđ\overparen{BE}= sđ\overparen{AB} + sđ\overparen{EC}\)\( sđ\overparen{AE}\) (3)

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow \widehat {ADS}=\dfrac{sđ\overparen{AE}}{2}\) (4)

Từ (2) và (4) \(\Rightarrow\widehat {ADS}=\widehat {SAD}\)\(\Rightarrow\) tam giác \(SDA\) cân tại \(S\) hay \(SA=SD\). 

Bài 41 trang 83 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Qua điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \((O)\) vẽ hai cát tuyến \(ABC\) và \(AMN\) sao cho hai đường thẳng \(BN\) và \(CM\) cắt nhau tại một điểm \(S\) nằm bên trong đường tròn.

Chứng minh:  \(\widehat A + \widehat {BSM} = 2\widehat {CMN}.\)

Phương pháp:

+) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.

Lời giải:

Xét đường tròn \((O)\) có:

+) \(\widehat A\) là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn \((O)\) chắn cung \(CN\) và \(BM\) \(\Rightarrow \widehat A = \dfrac{sđ\overparen{CN}-sđ\overparen{BM}}{2}\)  (1)

+) \(\widehat {BSM}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn \((O)\) chắn cung \(CN\) và \(BM\) \(\Rightarrow \widehat {BSM}=\dfrac{sđ\overparen{CN}+sđ\overparen{BM}}{2}\)   (2)

Cộng (1) và (2) theo vế với vế:

\(\widehat{A}\)+\(\widehat {BSM}\)\(=\dfrac{2sđ\overparen{CN}+(sđ\overparen{BM}-sđ\overparen{BM)}}{2}=sđ \overparen{CN}\)         (3)

Mà \(\widehat {CMN}\) là góc nội tiếp chắn cung \(CN\) \(\Rightarrow \widehat {CMN}=\dfrac{sđ\overparen{CN}}{2}\)           

\(\Leftrightarrow\) \(2\widehat {CMN}=sđ\overparen{CN}\).  (4) 

Từ (3) và (4) ta được:  \(\widehat A + \widehat {BSM} = 2\widehat {CMN}\) (đpcm).

Bài 42 trang 83 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn. \(P,\, Q,\, R\) theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn \(BC, \, CA, \,AB\) bởi các góc \(A, \,B,\, C\).

a) Chứng minh \(AP \bot QR.\)

b) \(AP\) cắt \(CR\) tại \(I\). Chứng minh tam giác \(CPI\) là tam giác cân.

Lời giải:

a) Gọi giao điểm của \(AP\) và \(QR\) là \(K\). 

Vì \(P,\, Q,\, R\) theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn \(BC, \, CA, \,AB\) bởi các góc \(A, \,B,\, C\) nên \(sđ\overparen{AR}=sđ\overparen{RB}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AB}\) , \(sđ\overparen{AQ}=sđ\overparen{QC}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AC}\), \(sđ\overparen{PC}=sđ\overparen{PB}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{BC}.\)  

Suy ra \(sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}\)\(=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AB}+\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AC}+\dfrac {1}{2}sđ\overparen{BC}\)\(=\dfrac {1}{2}(sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{CB})\)\(=\dfrac {1}{2}.360^0=180^0\)

Xét đường tròn \((O)\) ta có:

 +) \(\widehat{AKR}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung \(AR\) và \(QP\) nên:  \( \widehat{AKR}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QP}}{2}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}}{2}=\dfrac{1}{2}.180^0=90^0.\)

Vậy \(\widehat{AKR} = 90^0\) hay \(AP \bot QR\)

b) Xét đường tròn \((O)\) ta có:

+) \(\widehat{CIP}\)  là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung \(AR\)  và \(CP\) nên: \(\widehat{CIP}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{CP}}{2}\)    (1)

+) \(\widehat {PCI}\) góc nội tiếp chắn cung \(PR\), nên \(\widehat {PCI}=\dfrac{sđ\overparen{RB}+sđ\overparen{BP}}{2}\)    (2) 

Theo giả thiết thì \(\overparen{AR} = \overparen{RB}\)  (3)

và  \(\overparen{CP} = \overparen{BP}\)        (4) 

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: \(\widehat {CIP}=\widehat {PCI}\). Do đó \(∆CPI\) cân.

Bài 43 trang 83 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho đường tròn \((O)\) và hai dây cung song song \(AB,\, CD\) (\(A\) và \(C\) nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ \(BD\)); \(AD\) cắt \(BC\) tại \(I\). Chứng minh \(\widehat{AOC }= \widehat{AIC }.\)

Lời giải:

Vì \(AB // CD\) nên\(\overparen{AC}=\overparen{BD}\) ( 2 cung chắn giữa 2 dây song song thì bằng nhau) (1)

Ta có: \(\widehat{AIC}\) là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn cung \(AC\) và cung \(BD\) \(\Rightarrow \widehat{AIC }= \dfrac{sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{BD}}{2}\)                      

Theo (1) suy ra \(\widehat{AIC }=\dfrac{sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{AC}}{2}\)\(=\dfrac{2.sđ\overparen{AC}}{2}= sđ\overparen{AC}\) (3)

Mà \(\widehat{AOC }= sđ\overparen{AC}\) (góc ở tâm chắn cung \(\overparen{AC}\))  (4)

Từ (3), (4), ta có \(\widehat{AOC } = \widehat{AIC }\) (đpcm).  

Sachbaitap.com