Bài 20 trang 118 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao

a) Tìm vec tơ đơn vị vuông góc với trục Ox và vuông góc với vec tơ \(\overrightarrow a (3;6;8).\)

b) Cho vec tơ \(\overrightarrow a (1; - 2;3).\) Tìm tọa độ vec tơ \(\overrightarrow b \) cùng phương với \(\overrightarrow a ,\) biết \(\overrightarrow b \) tạo với trục Oy một góc nhọn và \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {14} .\)

c) Vectơ\(\overrightarrow u \) có độ dài bằng 2,tạo với vec tơ \(\overrightarrow a (1;1;1)\) góc 30⁰, tạo với vectơ \(\overrightarrow b (1;1;0)\) góc 45⁰. Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow u .\)

d) Vectơ \(\overrightarrow u \) vuông góc với hai vec tơ \(\overrightarrow a (1;1;1)\) và \(\overrightarrow b (1; - 1;3),\overrightarrow u \) tạo với trục Oz một góc tù và \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 3.\) Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow u .\)

Giải

a) Giả sử \(\overrightarrow u (x;y;z)\) là vec tơ đơn vị phải tìm .Từ giả thiết ta có hệ :

\(\left\{ \matrix{  \left| {\overrightarrow u } \right| = 1 \hfill \cr  \overrightarrow u .\overrightarrow i  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow u .\overrightarrow a  = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1 \hfill \cr  x = 0 \hfill \cr  3x + 6y + 8z = 0 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Leftrightarrow x = 0,y =  - {4 \over 5},z = {3 \over 5}\) hoặc \(x = 0,y = {4 \over 5},z =  - {3 \over 5}.\)

Có hai vec tơ \(\overrightarrow u \) với tọa độ là \(\left( {0; - {4 \over 5};{3 \over 5}} \right),\left( {0;{4 \over 5}; - {3 \over 5}} \right).\)

b) Giả sử \(\overrightarrow b (x;y;z)\) là vec tơ phải tìm. Từ giả thiết ta có hệ

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  \overrightarrow b  = k\overrightarrow a  \hfill \cr  \left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {14}  \hfill \cr  \overrightarrow b .\overrightarrow j  > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = k \hfill \cr  y =  - 2k \hfill \cr  z = 3k \hfill \cr  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 14,y > 0. \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \cr} \)

Vì y = -2k > 0 nên k < 0.

Ta có :

\(\left\{ \matrix{  {k^2} + 4{k^2} + 9{k^2} = 14 \hfill \cr  k < 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow k =  - 1.\)

Vậy \(\overrightarrow b  = ( - 1;2; - 3).\)

c) \(\overrightarrow u  = \left( {{{2 - \sqrt 2 } \over 2};{{2 + \sqrt 2 } \over 2};1} \right)\) hoặc \(\left( {{{2 + \sqrt 2 } \over 2};{{2 - \sqrt 2 } \over 2};1} \right)\).

d) Giả sử \(\overrightarrow u  = (x;y;z)\) là vec tơ phải tìm . Từ giả thiết của bài toán ta có hệ :

\(\left\{ \matrix{  \overrightarrow u .\overrightarrow a  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow u .\overrightarrow b  = 0 \hfill \cr  \left| {\overrightarrow u } \right| = 3 \hfill \cr  \overrightarrow u .\overrightarrow k  < 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x + y + z = 0 \hfill \cr  x - y + 3z = 0 \hfill \cr  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 9 \hfill \cr  z < 0. \hfill \cr}  \right.\)

Từ hai phương trình đầu của hệ rút ra x = -2z, y = z, thế vào phương trình thứ ba của hệ, ta có : \(6{z^2} = 9\).

Vì z < 0 nên \(z =  - \sqrt {{3 \over 2}} \), suy ra \(x = 2\sqrt {{3 \over 2}} ,\,\,y =  - \sqrt {{3 \over 2}} \)

Vectơ \(\overrightarrow u \) phải tìm là \(\overrightarrow u  = \left( {2\sqrt {{3 \over 2}} ; - \sqrt {{3 \over 2}} ; - \sqrt {{3 \over 2}} } \right).\)

Sachbaitap.com