Bài cuối chương 2 trang 24, 25, 26, 27, 28 SBT Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 2.10 trang 24 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(2{x^2} + 3y > 4.\)

B. \(xy + x < 5.\)

C. \({3^2}x + {4^3}y \ge 6.\)

D. \(x + {y^3} \le 3.\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Phương án A có x² là hạng tử bậc 2.

Phương án B có xy là hạng tử bậc 2.

Phương án D có y³ là hạng tử bậc 3.

Phương án C có các hạng tử đều có bậc bằng 1.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 2.11 trang 24 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y > 4}\\{{2^3}x + 3{y^2} < 1}\end{array}.} \right.\)

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y > 4}\\{{2^3}x + {3^2}y < 1}\end{array}.} \right.\)

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 3}\\{y < 2}\\{x + y \ge {y^2}}\end{array}.} \right.\)

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 3}\\{y < 1}\\{x + y \ge x + xy}\end{array}.} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Phương án A có y² là hạng tử bậc 2.

Phương án C có y² là hạng tử bậc 2.

Phương án D có xy là hạng tử bậc 2.

Phương án B có các hạng tử đều có bậc bằng 1.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 2.12 trang 24 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 5y \le 10?\)

A. \(\left( {5;2} \right).\)

B. \(\left( { - 1;4} \right).\)

C. \(\left( {2;1} \right).\)

D. \(\left( { - 5;6} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Thay x = 4; y = 2 vào biểu thức 2x + 5y ta được 2 . 4 + 5. 2 = 18 > 10 nên phương án A không thỏa mãn.

Thay x = -1; y = 4 vào biểu thức 2x + 5y ta được 2 . (-1) + 5 . 4 = 18 > 10 nên phương án B không thỏa mãn.

Thay x = -5; y = 6 vào biểu thức 2x + 5y ta được 2 . (-5) + 5 . 6 = 20 > 10 nên phương án D không thỏa mãn.

Thay x = 2; y = 1 vào biểu thức 2x + 5y ta được 2 . 2 + 5 . 1 = 9 < 10 nên phương án C đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 2.13 trang 24 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Điểm nào dưới đây không thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x - 3y > 13?\)

A. \(\left( {1; - 5} \right).\)

B. \(\left( {2; - 4} \right).\)

C. \(\left( {3; - 3} \right).\)

D. \(\left( {8;1} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Thay x = 1; y = -5 vào biểu thức 2x - 3y ta được 2 . 1 - 3 . (-5) = 17 > 13 nên phương án A không thỏa mãn.

Thay x = 2; y = -4 vào biểu thức 2x - 3y ta được 2 . 2 - 3 . (-4) = 16 > 13 nên phương án B không thỏa mãn.

Thay x = 3; y = -3 vào biểu thức 2x - 3y ta được 2 . 3 - 3 . (-3) = 15 > 13 nên phương án C không thỏa mãn.

Thay x = 8; y = 1 vào thức 2x - 3y ta được 2 . 8 - 3 . 1 = 13 nên phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 2.14 trang 24 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho bất phương trình \(x + 2y \le 3.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d:x + 2y = 3\) chứa gốc tọa độ.

B. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d:x + 2y = 3\) không chứa gốc tọa độ.

C. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d:x + 2y =  - 3\) chứa gốc tọa độ

D. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d:x + 2y =  - 3\) không chứa gốc tọa độ

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Bất phương trình x + 2y ≤ 3 nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d: x + 2y = 3.

Do đó đáp án C và D không thỏa mãn.

Thay x = 0; y = 0 vào biểu thức x + 2y ta được 0 + 2 . 0 = 0 < 3.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d: x + 2y = 3 chứa gốc tọa độ.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 2.15 trang 25 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cặp số nào dưới đây là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \le 2}\\{x - 2y \ge 4}\\{x > 0}\end{array}\,\,?} \right.\)

A. \(\left( { - 1;2} \right).\)

B. \(\left( { - 2; - 4} \right).\)

C. \(\left( {0;1} \right).\)

D. \(\left( {2;4} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Các phương án A, B, C đều có giá trị x ≤ 0, do đó không thỏa mãn với điều kiện x > 0.

Thay x = 2; y = -4 vào hệ bất phương trình ta có:

x + y = 2 + (-4) = -2 < 2 (thỏa mãn), x - 2y = 2 - 2 . (-4) = 10 > 4 (thỏa mãn), x = 2 > 0 (thỏa mãn).

Vậy chọn phương án D.

Bài 2.16 trang 25 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x + y \le 2}\\{x - 2y \ge 1}\\{y \le 0}\end{array}\,\,?} \right.\)

A. \(\left( { - 3;2} \right).\)

B. \(\left( {0;1} \right).\)

C. \(\left( {4; - 1} \right).\)

D. \(\left( { - 2;2} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Các phương án A, B, D có giá trị của y > 0 nên không thỏa mãn điều kiện y ≤ 0.

Thay x = 4; y = -1 vào hệ bất phương trình ta được:

-x + y = -4 + (-1) = -5 < 2 (thỏa mãn); x - 2y = 4 - 2 . (-1) = 6 > 1 (thỏa mãn), -1 < 0 (thỏa mãn).

Vậy chọn phương án D.

Bài 2.17 trang 25 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây là miền tam giác \(ABC\) (miền không bị gạch)?

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \le 1}\\{x - y \ge 1}\\{x \ge 0}\end{array}.} \right.\)

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \le 1}\\{x - y \le 1}\\{x \ge 0}\end{array}} \right..\)

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \ge  - 1}\\{x + y \ge  - 1}\\{x \ge 0}\end{array}.} \right.\)

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \ge  - 1}\\{x + y \ge  - 1}\\{y \ge 0}\end{array}.} \right.\)

Lời giải:

Dễ thấy đáp án D sai.

Thay điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình, \(x - y \ge 1\)ta được:

\(0 - 0 = 0 > 1\) (vô lý)

\( \Rightarrow \) loại đáp án A.

 Thay điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình, \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \le 1}\\{x - y \le 1}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\) ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 + 0 = 0 < 1}\\{0 - 0 < 1}\\{0 \ge 0}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) đáp án B đúng.

Chọn B.

Bài 2.18 trang 26 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - 1}\\{x + y \le 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\) là:

A. Một nửa mặt phẳng.

B. Miền tam giác.

C. Miền tứ giác.

D. Miền ngũ giác.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Vẽ đường thẳng d₁: x = -1 là một đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm có hoành độ bằng -1.

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₁ và thay vào biểu thức x ta được 1 > -1.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ -1 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₂: x + y = 0 bằng cách vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm (0; 0) và (-1; 1).

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₂ và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ không chứa điểm I(1; 1).

• Đường thẳng d₃: y = 0 trùng với trục Ox.

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₃ và thay vào biểu thức y ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₃ chứa điểm I(1; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tam giác.

Vậy chọn phương án B.

Bài 2.19 trang 26 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \le 1}\\{ - 3 \le y \le 3}\\{ - 3 \le x \le 3}\end{array}} \right.\) là:

A. Miền lục giác.

B. Miền tam giác.

C. Miền tứ giác.

D. Miền ngũ giác.

Lời giải:

Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 1\) là nửa đường thẳng \(d:x + y = 1\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \( - 3 \le y \le 3\) là miền nằm giữa hai đường thẳng \({d_1}:y =  - 3\) và \({d_2}:y = 3\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \( - 3 \le x \le 3\) là miền nằm giữa hai đường thẳng \({d_3}:x =  - 3\) và \({d_4}:x = 3\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là ngũ giác \(ABCDE.\)

Chọn D.

Bài 2.20 trang 26 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \le 10}\\{ - 3 \le y \le 3}\\{ - 3 \le x \le 3}\end{array}} \right.\) là:

A. Miền lục giác.

B. Miền tam giác.

C. Miền tứ giác.

D. Miền ngũ giác.

Lời giải:

Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 10\) là nửa đường thẳng \(d:x + y = 10\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \( - 3 \le y \le 3\) là miền nằm giữa hai đường thẳng \({d_1}:y =  - 3\) và \({d_2}:y = 3\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \( - 3 \le x \le 3\) là miền nằm giữa hai đường thẳng \({d_3}:x =  - 3\) và \({d_4}:x = 3\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là: hình vuông \(ABCD\)

Chọn C.

Bài 2.21 trang 26 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 3x + y\) với \(\left( {x;y} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - 1}\\{x + y \le 2}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\) là:

A. -3.

B. 6.

C. 5.

D. 8.

Lời giải:

Miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge  - 1\) là nửa mặt phẳng bờ \(d:x =  - 1\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 2\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}:x + y = 2\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(y \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}:y = 0\) chứa điểm \(\left( {0;1} \right).\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tam giác \(ABC\) với \(A\left( { - 1;3} \right),\) \(B\left( { - 1;0} \right),\) \(C\left( {2;0} \right).\)

Ta có: \(F\left( { - 1;3} \right) = 3\left( { - 1} \right) + 3 = 0,\,\,F\left( { - 1;0} \right) = 3\left( { - 1} \right) + 0 =  - 3,\,\,F\left( {2;0} \right) = 3.2 + 0 = 6.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(F\) là \(F\left( {2;0} \right) = 6.\)

Chọn B.

Bài 2.22 trang 26 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) =  - x + 4y\) với \(\left( {x;y} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1}\\{x \le 2}\\{y \ge 0}\\{y \le 3}\end{array}} \right.\) là:

A. \( - 2.\)

B. \(3.\)

C. \(11.\)

D. \( - 4.\)

Lời giải:

Dễ dàng nhận thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1}\\{x \le 2}\\{y \ge 0}\\{y \le 3}\end{array}} \right.\) là hình chữ nhật \(ABCD\) với \(A\left( {1;0} \right),\,\,B\left( {2;0} \right),\,\,C\left( {2;3} \right),\,\,D\left( {1;3} \right).\)

Ta có: \(F\left( {1;0} \right) =  - 1 + 4.0 =  - 1,\,\,F\left( {2;0} \right) =  - 2 + 4.0 =  - 2,\)

\(F\left( {2;3} \right) =  - 2 + 4.3 = 10,\,\,F\left( {1;3} \right) =  - 1 + 4.3 = 11.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\) là: \(F\left( {2;0} \right) =  - 2.\)

Chọn A.

Bài 2.23 trang 26 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Tổng các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = x + 5y\) với \(\left( {x;y} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 \le y \le 2}\\{x + y \le 4}\\{y - x \le 4}\end{array}} \right.\) là:

A. \( - 20.\)

B. \(-4.\)

C. \(28.\)

D. \( 16.\)

Lời giải:

Miền nghiệm của bất phương trình \( - 2 \le y \le 2\) là miền nằm giữa hai đường thẳng \(d:y =  - 2\) và \({d_1}:y = 2\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}:x + y = 4\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(y - x \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_3}:y - x = 4\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là hình thang cân \(ABCD\) với \(A\left( { - 2;2} \right),\) \(B\left( {2;2} \right),\) \(C\left( {6; - 2} \right),\) \(D\left( { - 6; - 2} \right).\)

Ta có: \(F\left( { - 2;2} \right) =  - 2 + 5.2 = 8,\,\,F\left( {2;2} \right) = 2 + 5.2 = 12,\)

\(F\left( {6; - 2} \right) = 6 + 5\left( { - 2} \right) =  - 4,\,\,F\left( { - 6; - 2} \right) =  - 6 + 5\left( { - 2} \right) =  - 16.\)

\( \Rightarrow \) giá trị lớn nhất của \(F\) là: \(F\left( {2;2} \right) = 12,\) giá trị nhỏ nhất của \(F\) là: \(F\left( { - 6; - 2} \right) =  - 16.\)

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(F\) là: \(12 + \left( { - 16} \right) =  - 4.\)

Chọn B.

Bài 2.24 trang 27 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Một hợp tác xã chăn nuôi dự định trộn hai loại thức ăn gia súc \(X\) và gia súc \(Y\) để tạo thành thức ăn hỗn hợp cho gia súc. Giá một bao loại \(X\) là 250 nghìn đồng, giá một bao loại \(Y\) là 200 nghìn đồng. Mỗi bao loại \(X\) chứa 2 đơn vị chất dinh dưỡng A, 2 đơn vị chất dinh dưỡng B và 2 đơn vị chất dinh dưỡng C. Mỗi bao loại \(Y\) chứa 1 đơn vị chất dinh dưỡng A, 9 đơn vị chất dinh dưỡng B và 3 đơn vị chất dinh dưỡng C. Tìm chi phí nhỏ nhất để mua hai loại thức ăn gia súc \(X\) và \(Y\) sao cho hỗn hợp thu được tối thiểu 12 đơn vị chất dinh dưỡng A, 36 đơn vị chất dinh dưỡng B và 24 đơn vị chất dinh dưỡng C.

A. \(1,95\) triệu đồng.

B. \(4,5\) triệu đồng.

C. \(1,85\) triệu đồng.

D. \(1,7\) triệu đồng.

Lời giải:

• Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số bao loại \(X\) và \(Y.\) Điều kiện: \(x \ge 0;\,\,y \ge 0.\)

Số lượng chất dinh dưỡng A cần dùng để tạo thành hai loại thức ăn gia súc \(X\) và \(Y\) là: \(2x + y \ge 12.\)

Số lượng chất dinh dưỡng B  cần dùng để tạo thành hai loại thức ăn gia súc \(X\) và \(Y\) là: \(2x + 9y \ge 36.\)

Số lượng chất dinh dưỡng C  cần dùng để tạo thành hai loại thức ăn gia súc \(X\) và \(Y\) là: \(2x + 3y \ge 24.\)

Từ đó, ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{2x + y \ge 12.}\\{2x + 9y \ge 36.}\\{2x + 3y \ge 24.}\end{array}} \right.\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(d:x = 0\) chứa điểm \(\left( {1;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(y \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}:y = 0\) chứa điểm \(\left( {0;1} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \ge 12\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}:2x + y = 12\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 9y \ge 36\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_3}:2x + 9y = 36\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y \ge 24\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_4}:2x + 3y = 24\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là: miền không bị gạch với các đỉnh \(A\left( {18;0} \right),\) \(B\left( {9;2} \right),\) \(C\left( {3;6} \right),\) \(D\left( {0;12} \right).\)

• Chi phí để mua hai loại thức ăn gia súc loại \(X\) và \(Y\) là: \(F\left( {x;y} \right) = 250x + 200y\) (nghìn đồng).
• Ta có: \(F\left( {18;0} \right) = 250.18 + 200.0 = 4500,\,\,F\left( {9;2} \right) = 250.9 + 200.2 = 2650,\)

\(F\left( {3;6} \right) = 250.3 + 200.6 = 1950,\,\,F\left( {0;12} \right) = 250.0 + 200.12 = 2400.\)

Vậy chi phí nhỏ nhất để mua hai loại thức ăn gia súc loại \(X\) và \(Y\) là: \(F\left( {3;6} \right) = 1950.\)

Chọn A.

B. TỰ LUẬN

Bài 2.25 trang 27 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:

Lời giải:

a) Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x + y ≥ -4 trên mặt phẳng tọa độ:

• Vẽ đường thẳng d₁: x + y = -4 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; -4) và (-4; 0).

• Chọn điểm O(0; 0) ∉ d₁ và thay vào biểu thức x + y ta được 0 > -4.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≥ -4 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm O(0; 0).

b) Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình 2x - y ≤ 5 trên mặt phẳng tọa độ:

• Vẽ đường thẳng d₁: 2x - y = 5 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; -5) và (3; 1).

• Chọn điểm O(0; 0) ∉ d₁ và thay vào biểu thức 2x - y ta được 0 < 5.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 2x - y ≤ 5 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm O(0; 0).

c) Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x + 2y < 0 trên mặt phẳng tọa độ:

• Vẽ đường thẳng d₁: x + 2y = 0 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 0) và (2; -1).

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₁ và thay vào biểu thức x + 2y ta được 1 + 2 . 1 = 3 > 0.

• Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + 2y < 0 là nửa mặt phẳng bờ d₁ không chứa điểm I(1; 1) và bỏ đi đường thẳng d₁.

d) Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình -x + 2y > 0 trên mặt phẳng tọa độ:

• Vẽ đường thẳng d₁: -x + 2y = 0 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 0) và (2; 1).

• Chọn điểm I(1; 1)∉d₁ và thay vào biểu thức -x + 2y ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình -x + 2y > 0 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm I(1; 1) và bỏ đi đường thẳng d₁.

Bài 2.26 trang 27 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 10}\\{y > 0}\\{x - y > 4}\end{array}} \right.\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 1}\\{x + y \le 2}\\{y - x \le 2}\end{array}} \right.\)

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{4x - 6y < 0}\\{2x - 3y \ge 1}\end{array}} \right.\)

Lời giải:

a) Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 10}\\{y > 0}\\{x - y > 4}\end{array}} \right.\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(d:x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa điểm \(\left( {1;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \({d_1}:x \le 10\) là nửa mặt phẳng bờ \(d{}_1\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\).

Miền nghiệm của bất phương trình \({d_2}:y > 0\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}\) chứa điểm \(\left( {0;1} \right)\), bỏ đi đường \({d_3}\).

Miền nghiệm của bất phương trình \(x - y > 4\). Vẽ đường thẳng \({d_3}:x - y = 4\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\) Chọn điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc đường thẳng \({d_3}\) và thay vào biểu thức \(x - y,\) ta được \(0 - 0 = 0 < 4\) nên miền nghiệm của bất phương trình \(x - y > 4\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_3}\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\), bỏ đi đường thẳng \({d_3}\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 10}\\{y > 0}\\{x - y > 4}\end{array}} \right.\) là \(\Delta ABC\) với \(A\left( {4;0} \right),\) \(B\left( {10;0} \right),\) \(C\left( {10;6} \right).\)

b) Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 1}\\{x + y \le 2}\\{y - x \le 2}\end{array}} \right.\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(d:y \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa điểm \(\left( {0;1} \right)\).

Miền nghiệm của bất phương trình \({d_1}:y \le 1\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 2.\) Vẽ đường thẳng \({d_2}:x + y = 2\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\) Chọn điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc đường thẳng \({d_2}\) và thay vào biểu thức \(x + y,\) ta được: \(0 + 0 = 0 < 2,\) nên miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 2\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}\)chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(y - x \le 2.\) Vẽ đường thẳng \({d_3}:y - x = 2\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\) Chọn điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc đường thẳng \({d_3}\) và thay vào biểu thức \(y - x,\) ta được: \(0 - 0 = 0 < 2,\) nên miền nghiệm của bất phương trình \(y - x \le 2\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_3}\)chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 1}\\{x + y \le 2}\\{y - x \le 2}\end{array}} \right.\) là hình thang cân \(ABCD\) với \(A\left( { - 2;0} \right),\,\,B\left( {2;0} \right),\,\,C\left( {1;1} \right),\,\,D\left( { - 1;1} \right).\)

c) Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{4x - 6y < 0}\\{2x - 3y \ge 1}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{4x - 6y < 0}\\{2x - 3y \ge 1}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{2x - 3y < 0}\\{2x - 3y \ge 1}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \)hệ phương trình vô nghiệm

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{4x - 6y < 0}\\{2x - 3y \ge 1}\end{array}} \right.\) là hệ bất phương trình vô nghiệm.

Bài 2.27 trang 27 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 2x + 3y\) với \(\left( {x;y} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge  - 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y - x \le 4}\end{array}.} \right.\)

Lời giải:

• Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge  - 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y - x \le 4}\end{array}.} \right.\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(d:y \ge  - 1\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \({d_1}:y \le 1\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}:x + y = 4\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(y - x \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_3}:y - x = 4\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge  - 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y - x \le 4}\end{array}} \right.\) là: hình thang cân \(ABCD\) với \(A\left( { - 3;1} \right),\,\,B\left( {3;1} \right),\,\,C\left( {5; - 1} \right),\,\,D\left( { - 5; - 1} \right).\)

• Ta có: \(F\left( { - 3;1} \right) = 2\left( { - 3} \right) + 3.1 =  - 6 + 3 =  - 3.\)

\(\begin{array}{l}F\left( {3;1} \right) = 2.3 + 3.1 = 6 + 3 = 9.\\F\left( {5; - 1} \right) = 2.5 + 3\left( { - 1} \right) = 10 - 3 = 7.\\F\left( { - 5; - 1} \right) = 2\left( { - 5} \right) + 3\left( { - 1} \right) =  - 10 - 3 =  - 13.\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất là \(F\left( {3;1} \right) = 9,\) giá trị nhỏ nhất là: \(F\left( { - 5; - 1} \right) =  - 13.\)

Bài 2.28 trang 27 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Một phân xưởng có hai loại máy chuyên dụng \({M_1}\) và \({M_2}\) để sản xuất hai loại sản phẩm A và B theo đơn đặt hàng. Nếu sản xuất được một tấn sản phẩm loại A thì phân xưởng nhận được số tiền lãi là 2 triệu đồng. Nếu sản xuất được một tấn sản phẩm loại B thì phân xưởng nhận được số tiền lãi là 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại A, người ta phải dùng máy \({M_1}\) trong 3 giờ và máy \({M_2}\) trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại B, người ta phải dùng máy \({M_1}\) trong 1 giờ và máy \({M_2}\) trong 1 giờ. Một máy không thể dùng sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy \({M_1}\) làm việc không quá 6 giờ một ngày và máy \({M_2}\) làm việc không quá 4 giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng này có thể thu được trong một ngày là bao nhiêu?

Lời giải:

• Gọi \(x\) và \(y\) là số tấn sản phẩm loại A và loại B mà phân xưởng sản xuất được.

Điều kiện: \(x \ge 0;\,\,y \ge 0.\)

Thời gian máy \({M_1}\) làm việc không quá 6 giờ một ngày là: \(3x + y \le 6.\)

Thời gian máy \({M_2}\) làm việc không quá 4 giờ một ngày là: \(x + y \le 4.\)

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x + y \le 6}\\{x + y \le 4}\end{array}.} \right.\)

Số tiền lãi phân xưởng này thu được trong một ngày là: \(F\left( {x;y} \right) = 2x + 1,6y \to \max \)

• Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x + y \le 6}\\{x + y \le 4}\end{array}.} \right.\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(d:x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa điểm \(\left( {1;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \({d_1}:y \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}\) chứa điểm \(\left( {0;1} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(3x + y \le 6\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}:3x + y = 6\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_3}:x + y = 4\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x + y \le 6}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\) là tứ giác \(OABC\) với \(A\left( {2;0} \right),\) \(B\left( {1;3} \right),\,\,C\left( {0;4} \right).\)

• Ta có: \(F\left( {2;0} \right) = 2.2 + 1,6.0 = 4;\,\,F\left( {0;0} \right) = 2.0 + 1,6.0 = 0;\)

\(F\left( {1;3} \right) = 2.1 + 1,6.3 = 6,8;\) \(F\left( {0;4} \right) = 2.0 + 1,6.4 = 6,4.\)

Vậy số tiền lãi lớn nhất phân xưởng này thu được trong một ngày là: 6,8 triệu đồng.

Bài 2.29 trang 28 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Giả sử một người ăn kiêng cần được cung cấp ít nhất 300 calo, 36 đơn vị vitamin A và 90 đơn vị vitamin C mỗi ngày từ hai loại đồ uống / và //. Mỗi cốc đồ uống / cung cấp 60 calo, 12 đơn vị vitamin A và 10 đơn vị vitamin C.

Mỗi cốc đồ uống // cung cấp 60 calo, 6 đơn vị vitamin A và 30 đơn vị vitamin C. Biết rằng một cốc đồ uống / có giá 12 nghìn đồng và một cốc đồ uống // có giá 15 nghìn đồng.

a) Gọi x và y tương ứng là số cốc đồ uống / và //. Viết các phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình và xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x cốc đồ uống / và y là số tiền phải trả cho y cốc đồ uống //. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Biết rằng F đạt giá trị nhỏ nhất trên miền nghiệm tìm được ở câu a tại một trong các đỉnh của miền nghiệm, tìm giá trị nhỏ nhất đó. Từ đó suy ra người đó cần uống bao nhiêu cốc loại / và loại // để chi phí là nhỏ nhất. mà vẫn đáp ứng được yêu cầu hằng ngày.

Lời giải:

a) Gọi x và y tương ứng là số cốc đồ uống / và //.

Điều kiện: \(x \ge 0;\,\,y \ge 0.\)

Số calo cần cung cấp cho người ăn kiêng từ hai loại đồ uống / và // là: \(60x + 60y \ge 300\,\, \Leftrightarrow \,\,x + y \ge 5.\)

Số vitamin A cần cung cấp cho người ăn kiêng từ hai loại đồ uống / và // là: \(12x + 6y \ge 36\,\, \Leftrightarrow \,\,2x + y \ge 6.\)

Số vitamin C cần cung cấp cho người ăn kiêng từ hai loại đồ uống / và // là: \(10x + 30y \ge 90\,\, \Leftrightarrow \,\,x + 3y \ge 9.\)

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \ge 5}\\{2x + y \ge 6}\\{x + 3y \ge 9}\end{array}.} \right.\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(d:x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa điểm \(\left( {1;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \({d_1}:y \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}\) chứa điểm \(\left( {0;1} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \ge 5\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}:x + y = 5\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \ge 6\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_3}:2x + y = 6\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x + 3y \ge 9\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_4}:x + 3y = 9\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \ge 5}\\{2x + y \ge 6}\\{x + 3y \ge 9}\end{array}} \right.\)là miền không bị gạch với \(A\left( {0;6} \right),\,\,B\left( {1;4} \right),\,\,C\left( {3;2} \right),\,\,D\left( {9;0} \right).\)

b) Số tiền phải trả cho hai loại đồ uống / và // là: \(F\left( {x;y} \right) = 12x + 15y\) (nghìn đồng).

c) Ta có: \(F\left( {0;6} \right) = 12.0 + 15.6 = 90,\,\,F\left( {1;4} \right) = 12.1 + 15.4 = 72,\)

\(F\left( {3;2} \right) = 12.3 + 15.2 = 66,\,\,F\left( {9;0} \right) = 12.9 + 15.0 = 108.\)

\( \Rightarrow \) Giá trị nhỏ nhất của \(F\) là \(F\left( {3;2} \right) = 66.\)

Vậy người đó cần uống 3 cốc đồ uống loại / và 2 cốc đồ uống loại // để đáp úng yêu cầu đặt ra hàng ngày.

Sachbaitap.com