Bài 25, 26, 27, 28 trang 52, 53 SGK Toán 9 tập 2 - Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Bài 25 trang 52 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

 Đối với phương trình sau, kí hiệu x₁ và x₂ là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chố trống (..):

a) 2x² – 17x + 1 = 0;

Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

b) 5x² – x – 35 = 0;

Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

c) 8x² – x + 1 = 0 ;

Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

d) 25x² + 10x + 1 = 0 ;

Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

Lời giải: 

a) 

\(2{x^2}-{\rm{ }}17x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 2, b = -17, c = 1\)

\(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( { - 17} \right)^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }}.{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}289{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}281\)

\(\displaystyle{x_1} + {x_2} =  - {{ - 17} \over 2} = {{17} \over 2};{x_1}{x_2} = {1 \over 2}\)

b) 

\(5{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}35{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 5, b = -1, c = -35\)

\(\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}5{\rm{ }}.{\rm{ }}\left( { - 35} \right) = 1 + 700 = 701\)

\(\displaystyle{x_1} + {x_2} =  - {{ - 1} \over 5} = {\rm{ }}{1 \over 5};{x_1}{x_2} = {{ - 35} \over 5} =  - 7\)

c) 

\(8{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 8, b = -1, c = 1\)

\(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( { - 1} \right)^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}8{\rm{ }}.{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}32{\rm{ }} = {\rm{ }} - 31{\rm{ }} < {\rm{ }}0\)

Phương trình vô nghiệm nên không có hệ thức Viet tổng và tích 2 nghiệm.

d) 

\(25{x^2} + {\rm{ }}10x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 25, b = 10, c = 1\)

\(\Delta  = {\rm{ }}{10^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}25{\rm{ }}.{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}100{\rm{ }} - {\rm{ }}100{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\displaystyle{x_1} + {x_2} =  - {{10} \over {25}} =  - {2 \over 5};{x_1}{x_2} = {1 \over {25}}\)

Bài 26 trang 53 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Dùng điều kiện \(a + b + c = 0\) hoặc \(a - b + c = 0\) để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau :

a) 35x² – 37x + 2 = 0;

b) 7x² + 500x – 507 = 0;

c) x² – 49x – 50 = 0;

d) 4321x² + 21x – 4300 = 0.

Phương pháp:

+) TH1: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), nghiệm còn lại là \({x_2} = \dfrac{c}{a}\)

+) TH2: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = -1\), nghiệm còn lại là \({x_2} = - \dfrac{c}{a}\)

Lời giải: 

a) 

\(35{x^2}-{\rm{ }}37x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 35, b = -37, c = 2\)

Do đó: \(a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0\)

nên \(\displaystyle {x_1} = 1;{x_2} = {2 \over {35}}\)

b) 

 \(7{x^2} + {\rm{ }}500x{\rm{ }} - {\rm{ }}507{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a=7, b = 500, c=-507\)

Do đó: \(a + b + c = 7 + 500 +(- 507)=0\)

nên \(\displaystyle{x_1} = 1;{x_2} =  - {{507} \over 7}\) 

c) 

\({x^2} - {\rm{ }}49x{\rm{ }} - {\rm{ }}50{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 1, b = -49, c = -50\)   

Do đó \(a - b + c = 1 - (-49) +(- 50) = 0\)

nên \(\displaystyle{x_1} =  - 1;{x_2} =  - {{ - 50} \over 1} = 50\) 

d) 

\(4321{x^2} + {\rm{ }}21x{\rm{ }} - {\rm{ }}4300{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 4321, b = 21, c = -4300\)

Do đó \(a - b + c = 4321 - 21 + (-4300) = 0\) 

nên \(\displaystyle{x_1} =  - 1;{x_2} =  - {{ - 4300} \over {4321}} = {{4300} \over {4321}}\).

Bài 27 trang 53 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

a) x² – 7x + 12 = 0;

b) x² + 7x + 12 = 0.

Lời giải: 

a) 

\({x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 1, b = -7, c = 12\)

Suy ra \(\Delta  = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.12 = 1 > 0\)

Nên phương trình có 2 nghiệm \(x_1;x_2\), theo hệ thức Vi-et ta có:

\(\displaystyle{x_1} + {x_2} = {\rm{ }} - {{ - 7} \over 1} = 7 = 3 + 4\) 

\(\displaystyle{x_1}{x_2} = {\rm{ }}{{12} \over 1} = 12 = 3.4\)

Vậy \({x_1} = {\rm{ }}3,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4\). 

b) 

\({x^2} + {\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 1, b = 7, c = 12\)

Suy ra \(\Delta  = 7^2 - 4.1.12 = 1 > 0\)

Nên phương trình có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) , theo hệ thức Vi-et ta có:

\(\displaystyle{x_1} + {x_2} = {\rm{ }} - {7 \over 1} =  - 7 =  - 3 + ( - 4)\)

\(\displaystyle{x_1}{x_2} = {\rm{ }}{{12} \over 1} = 12 = ( - 3).( - 4)\)

Vậy \({x_1} = {\rm{ }} - 3,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} - 4\).

Bài 28 trang 53 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

 Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 32 , uv = 231 

b) u + v = -8, uv = -105

c) u + v = 2, uv = 9

Phương pháp: 

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P (và thỏa mãn điều kiện \({S^2} - 4P\ge 0\) ) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\).

Sau đó tính \(\Delta\) hoặc \(\Delta'\) và sử dụng công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn)  để tìm ra nghiệm của phương trình

Lời giải: 

a) 

Vì \({32^2} - 4.231 = 100 > 0\)

Nên \(u\) và \(v\) là nghiệm của phương trình: \({x^2}-{\rm{ }}32x{\rm{ }} + {\rm{ }}231{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(a = 1; b' = -16; c = 231.\)  

\(\Delta' {\rm{ }} = {\rm{ ( - }}16{)^2}-{\rm{ }}231.1{\rm{ }} = {\rm{ }}256{\rm{ }}-{\rm{ }}231{\rm{ }} = {\rm{ }}25,{\rm{ }}\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}5\)

\(\begin{array}{l}
{x_1} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{ - \left( { - 16} \right) - 5}}{1} = 11\\
{x_2} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{ - \left( { - 16} \right) + 5}}{1} = 21
\end{array}\)

Vậy \(u = 21, v = 11\) hoặc \(u = 11, v = 21\)

b) 

Vì \({\left( { - 8} \right)^2} - 4.\left( { - 105} \right) = 484 > 0\)

Nên \(u\), \(v\) là nghiệm của phương trình:

\({{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}105{\rm{ }} = {\rm{ }}0}\)

\(a = 1; b' = 4; c = - 105\)

 Ta có: \(Δ’ = 16 – 1.(-105) = 121 > 0\)

\(\begin{array}{l}
{x_1} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{ - 4 - 11}}{1} =  - 15\\
{x_2} = \dfrac{{ - b '+ \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{ - 4 + 11}}{1} = 7
\end{array}\)

Vậy \(u = 7, v = -15\) hoặc \(u = -15, v = 7\).

c)

 Vì \({{2^{2}}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}9{\rm{ }} < {\rm{ }}0}\) nên không có giá trị nào của \(u\) và \(v\) thỏa mãn điều kiện đã cho.

Sachbaitap.com