Bài 28 trang 18 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Tính:
a) \( \sqrt{\dfrac{289}{225}}\); b) \( \sqrt{2\dfrac{14}{25}}\);
c) \( \sqrt{\dfrac{0,25}{9}}\) ; d) \( \sqrt{\dfrac{8,1}{1,6}}\).
Lời giải:
a) Ta có:
\(\sqrt{\dfrac{289}{225}}=\dfrac{\sqrt{289}}{\sqrt{225}}=\dfrac{\sqrt {17^2}}{\sqrt{15^2}}=\dfrac{17}{15}\).
b) Ta có:
\(\sqrt{2\dfrac{14}{25}}=\sqrt{\dfrac{2.25+14}{25}}=\sqrt{\dfrac{50+14}{25}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{64}{25}}=\dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{5^2}}=\dfrac{8}{5}\).
c) Ta có:
\(\sqrt{\dfrac{0,25}{9}}=\dfrac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{0,5^2}}{\sqrt{3^2}}=\dfrac{0,5}{3}\)
\(=0,5.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\).
d) Ta có:
\(\sqrt{\dfrac{8,1}{1,6}}=\sqrt{\dfrac{81.0,1}{16.0,1}}=\sqrt{\dfrac{81}{16}}=\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\dfrac{\sqrt{9^2}}{\sqrt{4^2}}=\dfrac{9}{4}\).
Bài 29 trang 19 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Tính:
a) \( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}\)
b) \( \dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}\)
c) \( \dfrac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}\)
d) \( \dfrac{\sqrt{6^{5}}}{\sqrt{2^{3}.3^{5}}}\)
Phương pháp:
Sử dụng các công thức sau:
\(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\), với \( a \ge 0 ,\ b >0\).
\((a.b)^m=a^m.b^m\), với \(m \in \mathbb{N}\).
Lời giải:
a) \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\dfrac{2}{18}}=\sqrt{\dfrac{2.1}{2.9}}\)\(=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^2}} =\dfrac{1}{3}\).
b)
\(\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}=\sqrt{\dfrac{15}{735}}=\sqrt{\dfrac{15.1}{15.49}}\)\(=\sqrt{\dfrac{1}{49}}=\sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{7}} \right)}^2}}\)
\(=\dfrac{1}{7}\).
c)
\(\dfrac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\dfrac{12500}{500}}=\sqrt{\dfrac{500.25}{500}}\)
\(=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5\).
d)
\(\dfrac{\sqrt{6^{5}}}{\sqrt{2^{3}.3^{5}}}=\sqrt{\dfrac{6^5}{2^3.3^5}}\)\(=\sqrt{\dfrac{(2.3)^5}{2^3.3^5}}=\sqrt{\dfrac{2^5.3^5}{2^3.3^5}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{2^5}{2^3}}\)\(=\sqrt{\dfrac{2^3.2^2}{2^3}}=\sqrt{2^2}=2\)
Bài 30 trang 19 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
a) \( \dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}\) với \(x > 0,\ y ≠ 0\);
b) 2\( y^{2}\).\( \sqrt{\dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}\) với \(y < 0\)
c) \(5xy. \sqrt{\dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}\) với \(x < 0,\ y > 0\)
d) \( 0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}\) với \(x ≠ 0,\ y ≠ 0\)
Lời giải:
a)
Ta có:
\(\dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^{4}}}\)
\(=\dfrac{y}{x}.\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{(y^2)^2}}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{|x|}{|y^2|}\)
Vì \(x> 0\) nên \(|x|=x\).
Vì \(y \ne 0\) nên \(y^2 > 0 \Rightarrow |y^2|=y^2\).
\(\Rightarrow \dfrac{y}{x}.\dfrac{|x|}{|y^2|} =\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y^2}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y.y}=\dfrac{1}{y}\).
Vậy \(\dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}=\dfrac{1}{y}\).
b)
Ta có:
\(2y^2.\sqrt{\dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}=2y^2.\dfrac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{4y^2}}=2y^2.\dfrac{\sqrt{(x^2)^2}}{\sqrt{2^2.y^2}}\)
\(=2y^2.\dfrac{\sqrt{(x^2)^2}}{\sqrt{(2y)^2}}=2y^2.\dfrac{|x^2|}{|2y|}\)
Vì \(x^2 \ge 0 \Rightarrow |x^2|=x^2\).
Vì \(y<0\) nên \(2y < 0 \Rightarrow |2y|=-2y\)
\(\Rightarrow 2y^2.\dfrac{|x^2|}{|2y|}=2y^2.\dfrac{x^2}{-2y}=\dfrac{2y^2.x^2}{-2y}\)
\(=\dfrac{x^2.y.2y}{-2y}=-x^2y\).
Vậy \(2y^2.\sqrt{\dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}=-x^2y\).
c)
Ta có:
\(5xy.\sqrt{\dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}=5xy.\dfrac{\sqrt{25x^2}}{\sqrt{y^6}}=5xy.\dfrac{\sqrt{5^2.x^2}}{\sqrt{(y^3)^2}}\)
\(=5xy.\dfrac{\sqrt{(5x)^2}}{\sqrt{(y^3)^2}}=5xy.\dfrac{|5x|}{|y^3|}\)
Vì \(x<0\) nên \(|5x|=-5x\)
Vì \(y>0 \Rightarrow y^3 >0 \Rightarrow |y^3|=y^3\).
\( \Rightarrow 5xy.\dfrac{|5x|}{|y^3|}=5xy.\dfrac{-5x}{y^3}=\dfrac{5xy.(-5x)}{y^3}\)
\(=\dfrac{[5.(-5)].(x.x).y}{y^2.y}=\dfrac{-25x^2}{y^2}\)
Vậy \(5xy.\sqrt{\dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}=\dfrac{-25x^2}{y^2}\).
d)
Ta có:
\(0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}=0,2x^3y^3.\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^4y^8}}\)
\(=0,2x^3y^3\dfrac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{(x^2)^2.(y^4)^2}}\)
\(=0,2x^3y^3.\dfrac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{(x^2)^2}.\sqrt{(y^4)^2}}=0,2x^3y^3.\dfrac{4}{|x^2|.|y^4|}\).
Vì \(x \ne 0,\ y \ne 0\) nên \( x^2 > 0\) và \(y^4 > 0\)
\(\Rightarrow |x^2| =x^2\) và \(|y^4|=y^4\).
\( \Rightarrow 0,2x^3y^3.\dfrac{4}{|x^2|.|y^4|}=0,2x^3y^3.\dfrac{4}{x^2y^4}\)
\(=\dfrac{0,2x^3y^3.4}{x^2y^4}\)
\(=\dfrac{0,8x}{y}.\)
Vậy \(0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}=\dfrac{0,8x}{y}\).
Bài 31 trang 19 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
a) So sánh \( \sqrt{25 - 16}\) và \(\sqrt {25} - \sqrt {16}\)
b) Chứng minh rằng: với \(a > b >0\) thì \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \)
Phương pháp:
+) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:
\( a< b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\).
+) \( \sqrt{ a^2} = a\), với \( a \ge 0\).
+) Sử dụng kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1: Với hai số dương \(a,b\) ta có: \(\sqrt {a + b} < \sqrt a + \sqrt b \)
Lời giải:
a)
Ta có:
+) \( \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 =\sqrt{3^2}= 3.\)
+) \( \sqrt {25} - \sqrt {16} \)\(= \sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}\)\(=5 - 4 = 1 \).
Vì \(3>1 \Leftrightarrow \sqrt {25 - 16}>\sqrt {25} - \sqrt {16} \).
Vậy \(\sqrt {25 - 16} > \sqrt {25} - \sqrt {16} \)
b)
Bài ra cho \(a > b > 0\) nên \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a - b} \) đều xác định và dương.
Ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \)
Theo kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1, với hai số dương \(a-b\) và \(b,\) ta sẽ có:
\(\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt {a - b + b} \)
Suy ra:
\(\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt a \Leftrightarrow \sqrt {a - b} > \sqrt a - \sqrt b \)
Vậy \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) với \(a > b > 0.\)
Cách khác 1:
Với \(a > b > 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a > \sqrt b \\a - b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a - \sqrt b > 0\\\sqrt {a - b} > 0\end{array} \right.\)
Xét \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) , bình phương hai vế ta được \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} < {\left( {\sqrt {a - b} } \right)^2} \)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} - 2.\sqrt a .\sqrt b + {\left( {\sqrt b } \right)^2} < a - b\)
\( \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b < a - b \)\(\Leftrightarrow 2b - 2\sqrt {ab} < 0\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt b \left( {\sqrt b - \sqrt a } \right) < 0\) luôn đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt b > 0\\\sqrt b - \sqrt a < 0\,\left( {do\,0 < b < a} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) với \(a > b > 0.\)
Cách khác 2:
Bài ra cho \(a > b > 0\) nên \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a - b} \) đều xác định và dương.
Ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \)
Ta có \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \) là số dương và
\({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} \)\(= a - b + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} + b \)\(= a + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} \)
Rõ ràng \(2\sqrt {b(a - b)} > 0\) nên \({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} > a\) (1)
Ta có \(\sqrt a \) là số không âm và \({\left( {\sqrt a } \right)^2} = a\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
\({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} > {\left( {\sqrt a } \right)^2}\) (3)
Từ (3) theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra
\(\sqrt {{{\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)}^2}} > \sqrt {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2}} \)
Hay \(\left| {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right| > \left| {\sqrt a } \right|\)
Hay \(\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt a \)
Từ kết quả \(\sqrt a < \sqrt {a - b} + \sqrt b \), ta có \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \)
Sachbaitap.com
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục