Bài 35 trang 123 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao

Cho điểm \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) với \({x_0},{y_0},{z_0} \ne 0.\) Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :

a) Đi qua diểm M₀ và song song với một trong các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).

b) Đi qua các hình chiếu của điểm M₀ trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

c) Đi qua điểm M₀ và lần lượt chứa các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Giải

a) Mặt phẳng qua \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) và song song với mặt phẳng mp(Oxy) có vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = (0;0;1)\) nên có phương trình là \(z - {z_0} = 0.\)

Phương trình mặt phẳng qua \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) và song song với mp(Oxz) là :

\(y - {y_0} = 0\).

Phương trình mặt phẳng qua \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) và song song với mp(Oyz) là :

\(x - {x_0} = 0\)

b) Gọi \({M_1},{M_2},{M_3}.\) lần lượt là hình chiếu của điểm M₀ trên các trục Ox, Oy, Oz. Khi đó : \({M_1} = ({x_0};0;0),{M_2} = (0;{y_0};0),{M_3} = (0;0;{z_0})\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(({M_1}{M_1}{M_3})\) là :

\({x \over {{x_0}}} + {y \over {{y_0}}} + {z \over {{z_0}}} = 1.\)

c) Gọi \(({P_x})\) là mặt phẳng chứ điêm M₀ và trục Ox. Khi đó vec tơ pháp tuyến của nó là :

\(\overrightarrow {{n_x}}  = \left[ {\overrightarrow {O{M_0}} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {\left| \matrix{  {y_0} \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {z_0} \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  {z_0} \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {x_0} \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  {x_0} \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {y_0} \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|} \right) \)

       \(= (0;{z_0}; - {y_0})\)

Vậy \(({P_x})\) có phương trình là \({z_0}y - {y_0}z = 0.\)

Tương tự , phương trình mặt phẳng chứa điểm M₀ và trục Oy là:

\({z_0}x - {x_0}z = 0.\)

Phương trình mặt phẳng chứa điểm M₀ và trục Oz là: 

\({y_0}x - {x_0}y = 0.\)

Sachbaitap.com