Bài 3.70 trang 134 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hai đường thẳng   \({\Delta _1}:{x \over 2} = {{y + 2} \over 3} = {z \over 4}\)  và \({\Delta _2}:\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = 2 + t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\)

a) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \({\Delta _1}\) và song song với \({\Delta _2}\)

b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\) sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình tham số của đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\matrix{{x = 2t'} \cr {y = - 2 + 3t'} \cr {z = 4t'} \cr} } \right.\)

\({\Delta _1}\) đi qua điểm M₁(0; -2; 0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}}  = (2;3;4)\)

\({\Delta _2}\)  đi qua điểm M₂ (1; 2; 1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}}  = (1;1;2)\)

Mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {{a_1}}  \wedge \overrightarrow {{a_2}}  = (2;0; - 1)\)

\((\alpha )\)  đi qua điểm M₁(0; -2; 0) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \), vậy phương trình của \((\alpha )\)  là:  2x – z = 0

b) Xét điểm \(H(1 + t;2 + t;1 + 2t) \in {\Delta _2}\)

       \(\overrightarrow {MH}  = (t - 1;t + 1;2t - 3)\)

Ta có: MH nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MH \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{a_2}}  = 0\)

\(\Leftrightarrow   t – 1 + t  +1 + 2(2t – 3) = 0  \Leftrightarrow   t = 1\)

Vậy ta được H(2; 3; 3)

Sachbaitap.com