Bài 3.71 trang 134 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz, cho điểm D(-3; 1 ; 2) và mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8).

a) Viết phương trình đường thẳng AC.

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\).

c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D, bán kính r = 5. Chứng minh mặt phẳng \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S).

Hướng dẫn làm bài:

a) Đường thẳng AC có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AC}  = (0;1; - 3)\)

Phương trình tham số của đường thẳng AC: \(\left\{ {\matrix{{x = 1} \cr {y = t} \cr {z = 11 - 3t} \cr} } \right.\)

b) Ta có:  \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1;1; - 1)\)  và \(\overrightarrow {AC}  = (0;1; - 3)\)

       \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {AB}  \wedge \overrightarrow {AC}  = ( - 2; - 3; - 1)\)

Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = ( - 2; - 3; - 1)\)

Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình:

\( 2(x – 1) + 3(y) + (z – 11) = 0\) hay  \(2x + 3y + z – 13 = 0\)

c) Phương trình mặt cầu (S) tâm D bán kính 5: (x + 3)² + (y – 1)² + (z – 2)² = 25

Ta có \(d(D,(\alpha )) = {{|2.( - 3) + 3.(1) + (2) - 13|} \over {\sqrt {4 + 9 + 1} }} = {{14} \over {\sqrt {14} }} = \sqrt {14}  < 5\)

Do đó \(d(D,(\alpha )) < r\) . Vậy mặt phẳng \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S).

Sachbaitap.com