Đề 2 trang 135 Sách bài tập (SBT) Hình học 12

ĐỀ 2 (45 PHÚT)

Trang 135 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình hộp chữ nhật OAIB.CEDF có tọa độ các đỉnh là A(3; 0 ; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5) và O(0; 0 ;0).

a) (2 điểm) Xác định tọa độ đỉnh D. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABD).

b) (2 điểm) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABD).

c) (3 điểm) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

d) (3 điểm) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và EF.

Hướng dẫn làm bài

a)  D(3; 4; 5)

Ta có  \(\overrightarrow {AD}  = (0;4;5)\)  và \(\overrightarrow {AB}  = ( - 3;4;0)\) .

Suy ra  (ABD) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {AD}  \wedge \overrightarrow {AB}  = ( - 20; - 15;12)\)

Phương trình của mặt phẳng (ABD) có dạng:

\(20(x – 3) + 15y – 12z = 0\) hay \(20x  +15y – 12z – 60 = 0\)

b) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua D và vuông góc với mặt phẳng  (ABD): \(\left\{ {\matrix{{x = 3 + 20t} \cr {y = 4 + 15t} \cr {z = 5 - 12t} \cr} } \right.\)

c) Mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Giả sử phương trình của (S) là  x² + y² + z² + ax + by + cz + d = 0.

Với điều kiện  \({({a \over 2})^2} + {({b \over 2})^2} + {({c \over 2})^2} - d \ge 0\)      (*)

Vì (S) đi qua O, A, B, C nên thay tọa độ của  O, A, B, C vào phương trình của (S) ta có :\(\left\{ {\matrix{{\matrix{{d = 0} \cr {9 + 3a = 0} \cr} } \cr {16 + 4b = 0} \cr {25 + 5c = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{d = 0} \cr {a = - 3} \cr {b = - 4} \cr {c = - 5} \cr} } \right.\)  thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình của (S) là x² + y² + z² – 3x – 4y – 5z = 0

d) Ta có  d(EF, AC) = d(EF, (ABC)) = d(E,(ABC))

 \(\overrightarrow {OE}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = (3;0;5) \Rightarrow  E(3;0;5)\) 

\(\overrightarrow {AB}  = ( - 3;4;0),\overrightarrow {AC}  = ( - 3;0;5)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AB}  \wedge \overrightarrow {AC}  = (20;15;12)\)    

Phương trình mặt phẳng (ABC) là  \(20(x – 3) + 15y + 12z = 0\)

                       hay \(20x + 15y + 12z – 60 = 0.\)

Từ đó suy ra:  \(d({\rm{EF}};AC) = {{|60 + 60 - 60|} \over {\sqrt {769} }} = {{60} \over {\sqrt {769} }}\)

Sachbaitap.com