Bài 48, 49, 50, 51, 52 trang 29, 30 SGK Toán 9 tập 1 - Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)

Bài 48 trang 29 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Khử mẫu của biểu thức lấy căn 

\(\sqrt{\dfrac{1}{600}};\,\,\sqrt{\dfrac{11}{540}};\,\,\sqrt{\dfrac{3}{50}};\,\,\sqrt{\dfrac{5}{98}}; \,\,\sqrt{\dfrac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}.\) 

Lời giải: 

+\(\sqrt{\dfrac{1}{600}}=\dfrac{\sqrt 1}{\sqrt{600}}\)\(=\dfrac{ 1}{\sqrt{6.100}}\)\(=\dfrac{1}{\sqrt{6.10^2}}\) 

\(=\dfrac{ 1}{\sqrt{6}.\sqrt{10^2}}\)\(=\dfrac{ 1}{10\sqrt{6}}\)\(=\dfrac{ 1.\sqrt 6}{10.6}\)\(=\dfrac{ \sqrt 6}{60}\)

+\(\sqrt{\dfrac{11}{540}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{540}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{36.15}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{36}.\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{6^2}.\sqrt{15}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{11}}{6\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{11}.\sqrt{15}}{6.15}\)

\(=\dfrac{\sqrt{11.15}}{90}=\dfrac{\sqrt{165}}{90}\).

+ \(\sqrt{\dfrac{3}{50}}=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt{25.2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{25}.\sqrt{2}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5^2}.\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt 2}{5.2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3.2}}{10}=\dfrac{\sqrt{6}}{10}\)

+ \(\sqrt{\dfrac{5}{98}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt {98}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{49.2}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{49}\sqrt{2}}\)

\(=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{7^2}.\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 5}{7\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 5 . \sqrt 2}{7. 2}\)

\(=\dfrac{\sqrt {5. 2}}{14}=\dfrac{\sqrt{10}}{14}\).

+\(\sqrt{\dfrac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {27}}=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {9.3}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {3^2.3}}\)\(=\dfrac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt {3}}\)

Vì \(1< 3 \Leftrightarrow \sqrt 1 < \sqrt 3 \Leftrightarrow 1< \sqrt 3\) \( \Leftrightarrow 1- \sqrt 3 < 0\)

\(\Leftrightarrow |1- \sqrt 3|=-(1-\sqrt 3)=-1 + \sqrt 3 = \sqrt 3 -1.\)

Do đó: \(\dfrac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt {3}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{3\sqrt {3}}=\dfrac{\sqrt 3(\sqrt{3}-1)}{9}=\dfrac{3-\sqrt 3}{9}.\)

Bài 49 trang 29 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

\(ab\sqrt{\dfrac{a}{b}};\,\,\, \dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}};\,\,\, \sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^{2}}};\,\,\,\ \sqrt{\dfrac{9a^{3}}{36b}};\,\,\, 3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}.\)

(Giả thiết các biểu thức có nghĩa).

e) \(\sqrt{7\cdot 63\cdot a^{2}}\)

Lời giải: 

Theo đề bài các biểu thức đều có nghĩa.

+ Ta có

\(ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=ab\sqrt{\dfrac{a.b}{b.b}}=ab\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}.\)

*) Nếu \( b > 0\)  thì \(|b|=b \Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=a\sqrt{ab}\). 

*) Nếu \( b < 0\)  thì \(|b|=-b \Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=-ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=-a\sqrt{ab}\).

+ Ta có:

\( \dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b.a}{a.a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}\)

\(=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2}}\)\(=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}\)\(=\dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}\)

*) Nếu \(a> 0\) thì \( |a|=a \Rightarrow \dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b} .\)

*) Nếu \(a<0\) thì  \(|a|=-a  \Rightarrow \dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=-\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=-\dfrac{\sqrt{ab}}{b} .\)

+ Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b+1}{b^2}}\)

                    \(=\dfrac{\sqrt{b+1}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}\).

*) Nếu \(b> 0\)  thì \(|b|=b \Rightarrow \dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}\).

*) Nếu \(-1 \le b < 0\)  thì \(|b|=-b \Rightarrow \dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=-\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}\).

+ Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}=\sqrt{\dfrac{9}{36}}.\sqrt{\dfrac{a^3}{b}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}.\sqrt{\dfrac{a^3.b}{b.b}}\)

\(=\dfrac{1}{2}.\sqrt{\dfrac{a^2.ab}{b^2}}\)\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{a^2}.\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}\)

\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{|b|}=\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}\).

*) Nếu \(a \ge 0,\ b > 0\) thì \(|a|=a,\ |b| =b \Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}\).

*) Nếu \(a < 0,\ b < 0\) thì \(|a|=-a,\ |b| =-b \Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}\).

(Chú ý: Theo đề bài \(\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}\) có nghĩa nên \(a,\ b\) cùng dấu, do đó chỉ cần xét 2 trường hợp \(a,\ b\) cùng âm hoặc cùng dương). 

+ Ta có:

\(3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}=3xy.\sqrt{\dfrac{2.xy}{xy.xy}}=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{\sqrt{(xy)^2}}\)

\(=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{|xy|}\) \(=\dfrac{3xy.\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy}\).

(Vì theo đề bài \(\sqrt{\dfrac{2}{xy}}\) có nghĩa nên \(\dfrac{2}{xy} > 0 \Leftrightarrow xy > 0 \Rightarrow |xy|=xy\).) 

Bài 50 trang 30 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

\(\dfrac{5}{\sqrt{10}};\,\,\, \dfrac{5}{2\sqrt{5}};\,\,\, \dfrac{1}{3\sqrt{20}};\,\,\, \dfrac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{y+b.\sqrt{y}}{b. \sqrt{y}}.\) 

Phương pháp:

+ \( (\sqrt{a})^2=a\),   với \(a \ge 0\).

+ \(\dfrac{a}{\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}{b}\),   \((b > 0)\).

+ \( \sqrt{A^2 B}=A\sqrt{B}\),   nếu \(A,\ B \ge 0\). 

+ \( \sqrt{A^2 B}=-A\sqrt B\),   nếu \(A < 0,\ B \ge 0\).

Lời giải: 

+ Ta có: 

\(\dfrac{5}{\sqrt{10}}=\dfrac{5.\sqrt{10}}{\sqrt{10}.\sqrt{10}}=\dfrac{5\sqrt{10}}{(\sqrt{10})^2}=\dfrac{5\sqrt{10}}{10}\)

\(=\dfrac{5.\sqrt{10}}{5.2}\)\(=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\).

+ Ta có:

\(\dfrac{5}{2\sqrt{5}}=\dfrac{5.\sqrt 5}{2\sqrt 5.\sqrt 5}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2.(\sqrt 5.\sqrt 5)}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2(\sqrt 5)^2}\)

\(=\dfrac{5\sqrt 5}{2.5}=\dfrac{\sqrt 5}{2}\).

+ Ta có:

\(\dfrac{1}{3\sqrt{20}}=\dfrac{1.\sqrt{20}}{3\sqrt{20}.\sqrt{20}}=\dfrac{\sqrt{20}}{3.(\sqrt{20}.\sqrt{20})}=\dfrac{\sqrt{20}}{3.(\sqrt{20})^2}\)

              \(=\dfrac{\sqrt{20}}{3.20}=\dfrac{\sqrt{2^2.5}}{60}=\dfrac{2\sqrt 5}{60}=\dfrac{2\sqrt 5}{2.30}=\dfrac{\sqrt 5}{30}\).

+ Ta có:

\(\dfrac{(2\sqrt{2}+2)}{5.\sqrt 2}=\dfrac{(2\sqrt 2+2).\sqrt 2}{5\sqrt 2. \sqrt 2}=\dfrac{2\sqrt 2.\sqrt 2+2.\sqrt 2}{5.(\sqrt 2)^2}\)

                    \(=\dfrac{2.2+2\sqrt 2}{5.2}=\dfrac{2(2+\sqrt 2)}{5.2}=\dfrac{2+\sqrt 2}{5}\).

+ Ta có:

 \(\dfrac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\dfrac{(y+b\sqrt y).\sqrt y}{b\sqrt y .\sqrt y}=\dfrac{y\sqrt y+b\sqrt y.\sqrt y}{b.(\sqrt y)^2}\)

                    \(= \dfrac{y\sqrt y+b(\sqrt y)^2}{by}=\dfrac{y\sqrt y+by}{by}\)

                    \(=\dfrac{y(\sqrt y+b)}{b.y}=\dfrac{\sqrt y+b}{b}\).

Cách khác:

\(\dfrac{{y + b\sqrt y }}{{b\sqrt y }} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt y } \right)}^2} + b\sqrt y }}{{b\sqrt y }} \)\(= \dfrac{{\sqrt y \left( {\sqrt y  + b} \right)}}{{b\sqrt y }} = \dfrac{{\sqrt y  + b}}{b}\)

Bài 51 trang 30 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

\(\dfrac{3}{\sqrt{3}+1};\,\,\,\dfrac{2}{\sqrt{3}-1};\,\,\,\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{b}{3+\sqrt{b}};\,\,\,\dfrac{p}{2\sqrt{p}-1}.\)

Lời giải: 

+ Ta có:

\(\dfrac{3}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{3(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{3\sqrt 3 - 3.1}{(\sqrt 3)^2-1^2}\)

\(=\dfrac{3\sqrt 3 -3}{3-1}=\dfrac{3\sqrt{3}-3}{2}\).

+ Ta có:

\(\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{2(\sqrt 3 + 1)}{(\sqrt 3)^2-1^2}\)

\(=\dfrac{2(\sqrt 3 + 1)}{3-1}=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1\).

+ Ta có:

\(\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{(2+\sqrt{3}).(2+\sqrt 3)}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\dfrac{(2+\sqrt{3})^2}{2^2-(\sqrt{3})^2}\)

\(=\dfrac{2^2+2.2.\sqrt 3+(\sqrt{3})^2}{4-3}\)

\(=\dfrac{7+4\sqrt 3}{1}=7+4\sqrt{3}\).

+ Ta có:

\(\dfrac{b}{3+\sqrt{b}}=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{(3+\sqrt{b})(3-\sqrt{b})}\)

\(=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{3^2-(\sqrt b)^2}=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{9-b};(b\neq 9)\).

+ Ta có:

\(\dfrac{p}{2\sqrt{p}-1}=\dfrac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p}-1)(2\sqrt{p}+1)}\)

\(=\dfrac{2p\sqrt{p}+p}{(2\sqrt{p})^2-1^2}\) \(=\dfrac{2p\sqrt{p}+p}{4p-1}\)

Bài 52 trang 30 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

\(\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}};\,\,\ \dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}};\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\,\,\, \dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\).

Lời giải: 

+ Ta có:

\(\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}\)

                   \(=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{6-5}\)

                   \(=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{1}=2(\sqrt{6}+\sqrt{5})\).

+ Ta có:

\(\dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})}\)

                    \(=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2}\)\(=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7}\)

                    \(=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{3}=\sqrt{10}-\sqrt{7}\).

+ Ta có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\dfrac{1.(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}\)

\(=\dfrac{\sqrt x + \sqrt y}{(\sqrt x)^2-(\sqrt y)^2}=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}\)

+ Ta có:

\(\dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}\)

\(=\dfrac{2ab(\sqrt a+ \sqrt b)}{(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2}=\dfrac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}\).

Sachbaitap.com