Bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 69, 70 SGK Toán 9 tập 1 - Luyện tập

Bài 5 trang 69 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Lời giải:

Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) có \(AB=3,\ AC=4\). Ta cần tính \(AH,\ BH\) và \(CH\). 

Áp dụng định lí Pytago cho \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), ta có:

                   \(BC^2=AB^2+AC^2\) 

           \(\Leftrightarrow BC^2= 3^2+4^2\)

           \(\Leftrightarrow BC^2=9+16=25\)

            \(\Leftrightarrow BC=\sqrt{25}= 5\).

Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

        *  \(AH.BC=AB.AC\)  \(\Leftrightarrow AH.5=3.4\)

                                               \(\Leftrightarrow AH=\dfrac{3.4}{5}=2,4\)

        *   \(AB^2=BH.BC\)  \(\Leftrightarrow 3^2=BH.5\)

                                           \(\Leftrightarrow 9=BH.5\)

                                           \(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9}{5}=1,8\)

        * \(AC^2=CH.BC\) \(\Leftrightarrow 4^2=CH.5\)

                                         \(\Leftrightarrow 16=CH.5\)

                                         \(\Leftrightarrow CH=\dfrac{16}{5}=3,2\)

Bài 6 trang 69 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là \(1\) và \(2\). Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Phương pháp: 

+) Tính cạnh huyền: \(a=b' +c'\).

+) Dùng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền \(b^2=b'.a;\ c^2=c'.a\), biết hình chiếu \(b',\ c'\) và cạnh huyền \(a\), tính được \(a,\ b\).

Lời giải:

Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\), \(BH=1,\ CH=2\). Ta cần tính \(AB,\ AC\).

Cách 1:

Ta có: \(BC=BH+HC=1+2=3\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\), ta có:

        * \(AB^2=BH.BC \Leftrightarrow AB^2=1.3=3\)

                                         \(\Leftrightarrow AB = \sqrt 3\)

        * \( AC^2=CH.BC \Leftrightarrow AC^2=2.3=6\)

                                         \(\Leftrightarrow AC=\sqrt 6\)

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông cần tìm là \(\sqrt 3\) và \(\sqrt 6\).

Cách 2:

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\), ta có:

\(AH^2 = BH.HC=1.2=2 \Rightarrow AH =\sqrt{2}\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABH, ta được:

\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} = {1^2} + {(\sqrt 2 )^2} = 3 \Rightarrow AB = \sqrt 3 \)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ACH, ta được:

\(A{C^2} = C{H^2} + A{H^2} = {2^2} + {(\sqrt 2 )^2} = 4 + 2 = 6 \Rightarrow AC = \sqrt 6 \)\(A{C^2} = C{H^2} + A{H^2} = {2^2} + {(\sqrt 2 )^2} = 4 + 2 = 6 \Rightarrow AC = \sqrt 6 \)

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông cần tìm là \(\sqrt 3\) và \(\sqrt 6\).

Bài 7 trang 69 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân \(x\) của hai đoạn thẳng \(a,\ b\) (tức là \({x^2} = ab\) ) như trong hai hình sau:

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Lời giải:

Đặt tên các đoạn thẳng như hình bên. 

Xét \(\Delta{ABC}\) có: 

      \(OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2}\) (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Mà \(AO\) là trung tuyến ứng với cạnh \(BC\) của \(\Delta{ABC}\).

Suy ra \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\) ( tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì là tam giác vuông)

Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Áp dụng hệ thức \(h^2=b'.c'\), ta được:

       \(AH^2=BH.CH \Leftrightarrow x^2=a.b\)

                                       \(\Leftrightarrow x=\sqrt {ab}\)

Vậy \(x\) là trung bình nhân của \(a\) và \(b\).

Cách vẽ: Bước \(1\): Đặt \(BH=a,\ CH=b\). Xác định trung điểm \(O\) của đoạn \(AB\). 

             Bước \(2\): Vẽ nửa đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OB\). 

             Bước \(3\): Kẻ thẳng đi qua \(H\) và vuông góc với \(BC\). Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại \(A\). 

             Bước \(4\): Nối \(A\) và \(H\) ta được \(AH=x\) là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng \(a,\ b\).

Bài 8 trang 70 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Tìm \(x\) và \(y\) trong mỗi hình sau:

Phương pháp:

a) Dùng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu \(h^2=b'.c'\), biết \(b',\ c'\) tính được \(h\).

b) +) Dùng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu \(h^2=b'.c'\)

+) Dùng định lí Pytago trong tam giác vuông để tính \(y\).

c) Dùng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu \(h^2=b'.c'\), biết \(h,\ b'\) tính được \(c'\).

+) Dùng định lí Pytago trong tam giác vuông.

Lời giải:

a) Đặt tên các điểm như hình vẽ:

Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Áp dụng hệ thức \(h^2=b'.c'\), ta được:

                           \(AH^2=BH.CH \)

                     \(\Leftrightarrow x^2=4.9=36\)

                     \(\Leftrightarrow x=\sqrt{36}=6\)

Vậy \(x=6\)

b) Đặt tên các điểm như hình vẽ

Xét \(\Delta{DEF}\) vuông tại \(D\), đường cao \(DH\). Áp dụng hệ thức \(h^2=b'.c'\), ta được:

\(D{H^2} = HE.HF \Rightarrow {2^2} = x.x \Rightarrow {x^2} = 4 \Rightarrow x = 2\)

Xét \(\Delta{DHF}\) vuông tại \(H\). Áp dụng định lí Pytago, ta có:

\(DF^2=DH^2+HF^2\)

\({y^2} = {2^2} + {x^2} = {2^2} + {2^2} = 8 \)

\(\Rightarrow y = \sqrt 8  = 2\sqrt 2 \)

Vậy \(x= 2,\ y=2\sqrt 2\).

c) Đặt tên các điểm như hình vẽ:

Xét \(\Delta{MNP}\) vuông tại \(P\), đường cao \(PH\). Áp dụng hệ thức \(h^2=b'.c'\), ta được:

              \(PH^2=HM.HN \Leftrightarrow 12^2=16.x\)

                                              \(\Leftrightarrow 144=16.x\)

                                              \(\Leftrightarrow x=\dfrac{144}{16}=9\)

 Xét \(\Delta{PHN}\) vuông tại \(H\). Áp dụng định lí Pytago, ta có:

\(PN^2=PH^2+HN^2 \Leftrightarrow y^2=12^2+9^2\)

\(\Leftrightarrow y^2=144+81=225\)

\(\Leftrightarrow y= \sqrt{225}=15\)

Vậy \(x=9,\ y=15\).

Bài 9 trang 70 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(I\) là một điểm nằm giữa \(A\) và \(B\). Tia \(DI\) và tia \(CB\) cắt nhau ở \(K\). Kẻ đường thẳng qua \(D\), vuông góc với \(DI\). Đường thẳng này cắt đường thẳng \(BC\) tại \(L\). Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(DIL\) là một tam giác cân;

b) Tổng \(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) không đổi khi \(I\) thay đổi trên cạnh \(AB\).

Phương pháp:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau\((\Delta{ADI}\) và \(\Delta{CDL})\) từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\) để đưa tổng đã cho về tổng của các số không đổi.

Lời giải:

a) Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta CDL\) có: 

               \(\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}\)

              \(AD=CD\) (hai cạnh hình vuông)

             \(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\)  (cùng phụ với \(\widehat{CDI})\)

Do đó \(\Delta ADI=\Delta CDL\) (g.c.g)

\(\Rightarrow DI=DL\) ( 2 cạnh tương ứng)

Vậy \(\Delta DIL\) cân tại D (đpcm).

b) Xét \(\Delta{DLK}\) vuông tại \(D\), đường cao \(DC\).

Áp dụng hệ thức \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\), ta có:

                 \(\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DL^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\)  (mà \(DL=DI)\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\)

Do ABCD cố định nên \(DC\) không đổi, do đó \(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) là không đổi.

Chú ý: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\)

Nếu đề bài không cho vẽ \(DL\perp DK\) thì ta vẫn phải vẽ đường phụ \(DL\perp DK\) để có thể vận dụng hệ thức trên.

Sachbaitap.com