Bài 52 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz cho hai điểm \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1}),{M_2}({x_2};{y_2};{z_2})\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):Ax + By + Cz + D = 0.\)

Tìm điều kiện cần và đủ để :

a) Đường thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\);

b) Đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\);

c) Đường thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) tại I sao cho M₁ nằm giữa I và M₂.

d) Đường thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) tại I sao cho M₂ nằm giữa I và M₁.

Giải

a) Đường thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không vuông góc với \(\overrightarrow n \left( {A,B,C} \right)\) \(\overrightarrow n \) là vec tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\), tức là :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {{M_1}{M_2}} .\overrightarrow n  = 0\cr& \Leftrightarrow A({x_2} - {x_1}) + B({y_2} - {y_1}) + C({z_2} - {z_1}) \ne 0  \cr} \)

b) Đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) khi và chỉ khi có một điểm I thuộc\(\left( \alpha  \right)\) và chia đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\) theo một tỉ số k<0. Gọi \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là tọa độ của điểm I, ta có :

\({x_0} = {{{x_1} - k{x_2}} \over {1 - k}},{x_0} = {{{y_1} - k{y_2}} \over {1 - k}},{x_0} = {{{z_1} - k{z_2}} \over {1 - k}}\)

Và \(A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).

\( \Rightarrow A\left( {{{{x_1} - k{x_2}} \over {1 - k}}} \right) + B\left( {{{{y_1} - k{y_2}} \over {1 - k}}} \right) + C\left( {{{{z_1} - k{z_2}} \over {1 - k}}} \right) + D = 0\)

Vì k < 0 nên điều kiện trên tương đương với điều kiện

c) \({M_1}\) nằm giữa I và \({M_2}\) \( \Leftrightarrow I\) chia đoạn \({M_1}{M_2}\) theo tỉ số k mà 0< k <1.

Ta vẫn có điều kiện \(\left(  *  \right)\), nhưng vì 0< k <1 nên điều kiện đó tương đương với điều kiện:

\(0 < {{A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D} \over {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D}} < 1.\)

d) Tương tự như trên, ta có điều kiện :

\(0 < {{A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} \over {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D}} < 1.\)

Chú ý : Từ kết quả trên ta suy ra kết luận sau:

Hai điểm \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) và \({M_2}({x_2};{y_2};{z_2})\) nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):Ax + By + Cz + D = 0.\) khi và chỉ khi

Sachbaitap.com