Loigiaihay.com 2024

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 61 trang 13 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua A, vuông góc với cạnh SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’,D’.

1. Chứng minh rằng tứ giác AB’C’D’ có hai góc đối diện là góc vuông.

2. Chứng minh rằng nếu S di chuyển trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A thì \(mp\left( {AB'C'D'} \right)\) luôn đi qua một đường thẳng cố định và các điểm A, B, B’, C, C’, D, D’ cùng cách đều một điểm cố định một khoảng không đổi.

3. Giả sử góc giữa cạnh SC và mặt bên (SAB) bằng x.

Tính tỉ số giữa thể tích của hình chóp S.AB’C’D’ và thể tích của hình chóp S.ABCD theo x, biết rằng AB = BC.

Giải

(h.43)

 

1. \(SC \bot (AB'C'D') \Rightarrow SC \bot AB'.\) Dễ thấy \(BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AB'.\)

Từ đó suy ra :

\(AB' \bot (SBC) \Rightarrow AB' \bot B'C'.\)

Tương tự ta có \(AD' \bot D'C'.\)

Như vậy tứ giác AB’C’D’ có hai góc B’D’ vuông.

2. Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và mp(ABCD) .

Do \(\Delta \) thuộc \(\left( \alpha  \right)\)  nên \(\Delta  \bot SC\).

Theo định lý ba đường vuông góc, ta có \(\Delta  \bot AC\). Hơn nữa, \(\Delta \) nằm trong mp(ABCD) và đi qua điểm A có định, vậy \(\Delta \) là đường thẳng cố định.

Do \(AB' \bot (SBC),AD' \bot (SCD) \)

\(\Rightarrow AB' \bot B'C,AD' \bot D'C.\)

Các tam giác vuông ABC, ADC, AB’C, AD’C, AC’C có chung cạnh huyền cố định AC, suy ra các đỉnh A, B, C, D, B’, C’, D’ đều cách trung điểm O của AC một khoảng không đổi \({{AC} \over 2}.\)

3. Cách 1. Do \(BC \bot (SAB)\) nên SB là hình chiếu của SC trên mp(SAB) và do đó \(\widehat {BSC} = x  \). Ta có

\(\eqalign{  & V = {V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}{a^2}SA(a = AB = BC),  \cr  & V' = {V_{S.AB'C'D'}} = {1 \over 3}{S_{AB'C'D'}}.SC'. \cr} \)

Do ABCD là hình vuông nên dễ dàng suy ra được SB’=SD’\( \Rightarrow B'D'// BD.\)

Từ đó dễ thấy \(B'D' \bot (SAC) \Rightarrow B'D' \bot AC'\)

\(\Rightarrow {S_{AB'C'D'}} = {1 \over 2}AC'.B'D'.\)

Ta có :

\(SB = BC\cot x = a\cot x,SC = {{BC} \over {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }} = {a \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\)

\(\eqalign{  & SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}}  = {{a\sqrt {\cos 2x} } \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}},\cr&SB' = {{S{A^2}} \over {SB}} = {{a\cos 2x} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inxcosx}}}},  \cr  & SC' = {{S{A^2}} \over {SC}} = {{a\cos 2x} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}},\cr&B'D' = BD.{{SB'} \over {SB}} = {{a\sqrt 2 \cos 2x} \over {{{\cos }^2}x}},  \cr  & AC' = {{SA.AC} \over {SC}} = a\sqrt {2\cos 2x} . \cr} \)

Vậy \(V = {{{a^3}\sqrt {\cos 2x} } \over {3\sin x}},V' = {{{a^3}{{\cos }^2}2x\sqrt {\cos 2x} } \over {3\sin x{{\cos }^2}x}} \Rightarrow {{V'} \over V} = {{{{\cos }^2}2x} \over {{{\cos }^2}x}}.\)

Cách 2. Dễ thấy :\({{V'} \over V} = {{2{V_{S.AB'C'}}} \over {2{V_{S.ABC}}}} = {{SB'.SC'} \over {SB.SC}}.\)

Từ đó dễ dàng suy ra kết quả cần tìm.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 12 Nâng cao - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Bài viết liên quan