Bài 83, 84, 85, 86, 87 trang 99, 100 SGK Toán 9 tập 2 - Luyện tập

Bài 83 trang 99 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

a) Vẽ hình 62 (tạo bởi các cung tròn) với \(HI = 10cm\) và \(HO = 2cm\). Nêu cách vẽ.

b) Tính diện tích hình \(HOABINH\) (miền gạch sọc)

c) Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính \(NA\) có cùng diện tích với hình \(HOABINH\) đó.

Lời giải:

a) + Vẽ đoạn thẳng \(HI = 10cm\), trên đoạn \(HI\) lấy hai điểm \(O\) và \(B\) sao cho \(HO = BI = 2cm\). Lấy \(D\) là trung điểm đoạn thẳng \(HI.\)

+ Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(HI\), vẽ các nửa đường tròn đường kính \(HI;HO;BI\)

+ Trên nửa mặt phẳng còn lại ta vẽ nửa đường tròn đường kính \(OB.\)

+ Vẽ đường trung trực của đoạn \(HI\), đường thẳng này cắt nửa đường tròn đường kính \(HI\) tại \(N\) và cắt nửa đường tròn đường kính \(OB\) tại \(A.\)

+ Bỏ đi hai nửa hình tròn đường kính \(HO\) và \(BI\), gạch chéo phần hình còn lại vừa vẽ ta được hình theo yêu cầu.

b) Theo cách dựng ta có: 

Nửa hình tròn đường kính \(HO\) và \(BI\) đều có bán kính \(r = 2:2 = 1cm\). Hai nửa hình tròn này có diện tích bằng nhau và bằng \({S_3} = \dfrac{1}{2}\pi .{r^2} = \dfrac{1}{2}\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)  

Nửa hình tròn đường kính \(HI\) có bán kính \(R = 10:2 = 5cm\) và có tâm \(D.\) Nửa hình tròn này có diện tích \({S_1} = \dfrac{1}{2}\pi {R^2} = \dfrac{1}{2}\pi {.5^2} = 12,5\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Nửa hình tròn đường kính \(OB\) có tâm \(D\) và có bán kính \({r_2} = OB:2 = \left( {HI - HO - BI} \right):2 = \left( {10 - 2 - 2} \right):2 = 3cm\)

Nửa hình tròn này có diện tích bằng \({S_2} = \dfrac{1}{2}\pi r_2^2 = \dfrac{1}{2}\pi {.3^2} = 4,5\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Phần hình bị gạch chéo tạo bởi các nửa đường tròn bán kính \(5cm;3cm\) và \(1cm\).

Diện tích phần bị gạch chéo là \(S = {S_1} - 2{S_3} + {S_2} = 12,5\pi  - 2.\dfrac{1}{2}\pi  + 4,5\pi  = 16\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích hình \(HOABINH\) là \(16\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

c) Ta có \(DN = R = 5cm;\,DA = {r_2} = 3cm \Rightarrow NA = 5 + 3 = 8cm\)

Đường tròn đường kính \(NA\) có bán kính là \(R' = 8:2 = 4cm\)

Diện tích hình tròn đường kính \(NA\) là \(S' = \pi {R'^2} = \pi {.4^2} = 16\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Do đó  \(S = S'\)

Vậy hình tròn đường kính \(NA\) có cùng diện tích với hình \(HOABINH\) đó.

Bài 84 trang 99 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

a) Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh \(C\) của tam giác đều \(ABC\) cạnh \(1 cm\). Nêu cách vẽ (h.63).

b) Tính diện tích miền gạch sọc.

Lời giải:

a) Vẽ tam giác đều \(ABC\) cạnh \(1cm\)

Vẽ \(\dfrac{1}{3}\) đường tròn tâm \(A\), bán kính \(1cm\), ta được cung \(\overparen{CD}\)

Vẽ cung \(\overparen{DE}\) của đường tròn tâm \(B\), bán kính \(2cm\) sao cho \(\widehat {DBE} =120^0\)

Vẽ cung \(\overparen{EF}\) của đường tròn tâm \(C\), bán kính \(3cm\) sao cho \(\widehat {ECF} =120^0\)

b) Diện tích hình quạt \(CAD\) là \(\dfrac{1}{3}\) \(π.1^2\)

Diện tích hình quạt \(DBE\) là \(\dfrac{1}{3}\) \(π.2^2\) 

Diện tích hình quạt \(ECF\) là \(\dfrac{1}{3}\) \(π.3^2\)

Diện tích phần gạch sọc là  \(\dfrac{1}{3}.π.1^2+ \dfrac{1}{3}.π.2^2 +\dfrac{1}{3}.π.3^2\)

\(=\dfrac{1}{3}\) \(π (1^2 + 2^2 + 3^2) = \dfrac{14}{3}π\) (\(cm^2\))

Bài 85 trang 100 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:  

Hình viên phân là hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy. Hãy tính diện tích hình viên phân \(AmB\), biết góc ở tâm \(\widehat {AOB} = {60^0}\) và bán kính đường tròn là \(5,1 cm\) (h.64)

Phương pháp: 

+) Diện tích hình viên phân = Diện tích cung tròn \(AmB\) - Diện tích tam giác \(OAB.\)

+) Diện tích quạt tròn bán kính \(R\) và có số đo cung \(n^0\) là \(S=\dfrac {\pi R^2 n}{360}\)

Lời giải:

\(∆OAB\) là tam giác đều có cạnh bằng \(R = 5,1cm\).

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là \(\displaystyle {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\) ta có 

 \(\displaystyle {S_{\Delta OBA}} ={{{R^2}\sqrt 3 } \over 4}\)           (1)

Diện tích hình quạt tròn \(AOB\) là:

 \(\displaystyle {{\pi .{R^2}{{.60}^0}} \over {{{360}^0}}} = {{\pi {R^2}} \over 6}\)      (2)

Từ (1) và (2) suy ra diện tích hình viên phân là:

\(\displaystyle {{\pi {R^2}} \over 6} - {{{R^2}\sqrt 3 } \over 4} = {R^2}\left( {{\pi  \over 6} - {{\sqrt 3 } \over 4}} \right)\)

Thay \(R = 5,1\) ta có \(S\)_{viên phân} ≈\( 2,4\) \((cm^2)\)

Bài 86 trang 100 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:  

 Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm (h.65).

a) Tính diện tích \(S\) của hình vành khăn theo \({R_1}\) và \({R_2}\) (giả sử \({R_1}>{R_2}\)).

b) Tính diện tích hình vành khăn khi \({R_1} = 10,5 cm\), \({R_2} = 7,8 cm\).

Lời giải:

a) Diện tích hình tròn \((O;{R_1})\) là \({S_1 }= \pi{R_1}^2\).

Diện tích hình tròn \((O;{R_2})\) là \({S_2 }= \pi{R_2}^2\).

Diện tích hình vành khăn là:

     \(S = {S_1} - {S_2} = \pi R_1^2 - \pi R_2^2 = \pi \left( {R_1^2 - R_2^2} \right).\)

b) Thay số: \(S = 3,14. (10,5^2 – 7,8^2) = 155,1\, \, (cm^2).\)

Bài 87 trang 100 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:  

Lấy cạnh BC của một tam giác đều làm đường kính, vẽ môt nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng BC. Cho biết cạnh BC = a, hãy tính diện tích của hai hình viên phân được tạo thành.

Lời giải:

Gọi \(D,E\) lần lượt là giao của hai cạnh \(AB,AC\) với nửa đường tròn đường kính \(BC\) có tâm \(O\) là trung điểm \(BC.\)

Bán kính nửa đường tròn này là \(R = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\)

Nối \(OE;OD.\) Xét tam giác \(OBE\) có \(OE = OB = R = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\) và \(\widehat B = 60^\circ  \Rightarrow \Delta OBE\) là tam giác đều cạnh \(\dfrac{a}{2}\)

Tương tự ta có \(\Delta OCD\) đều cạnh \(\dfrac{a}{2}.\)  

+ Diện tích hình viên phân thứ nhất là \({S_1} = {S_{qBOE}} - {S_{\Delta BOE}}\)

Diện tích hình quạt \(BOE\) có bán kính \(R = OB = \dfrac{a}{2}\) và số đo cung \(BE = \widehat {BOE} = 60^\circ \)  là \({S_{qBOE}} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}.60}}{{360}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{24}}\)

Kẻ \(EH \bot OB\) tại \(H\) suy ra \(H\) là trung điểm của \(OB\) (vì tam giác \(OEB\) đều nên \(EH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến). Suy ra \(OH = \dfrac{{OB}}{2} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}.\)

Xét tam giác \(EHO\) vuông tại \(H,\) theo định lý Pytago ta có \[EH = \sqrt {E{O^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{4}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}a\]

Diện tích tam giác \(EOB\) là \({S_{\Delta BOE}} = \dfrac{1}{2}EH.OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\) 

Từ đó diện tích hình viên phân thứ nhất là \({S_1} = {S_{qBOE}} - {S_{\Delta BOE}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{24}} - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}} = \dfrac{{{a^2}\left( {2\pi  - 3\sqrt 3 } \right)}}{{48}}\)

Tương tự ta có diện tích hình viên phân thứ hai là \({S_2} = {S_{qDOC}} - {S_{\Delta OCD}} = \dfrac{{{a^2}\left( {2\pi  - 3\sqrt 3 } \right)}}{{48}}.\) 

Vậy diện tích hai hình viên phhân bên ngoài tam giác là:

\(S=S_1+S_2=\dfrac{a^{2}}{24}\left ( 2\pi -3\sqrt{3} \right ).\) 

Sachbaitap.com