Bài 84 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét đường thẳng \({\Delta _m}\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng

\((\alpha )\) : mx + y - mz -1= 0 và \((\alpha '):x - my + z - m = 0\)

a) Chứng minh góc giữa \({\Delta _m}\) và trục Oz không đổi; khoảng cách giữa \({\Delta _m}\) và trục Oz không đổi.

b) Tìm tập hợp các giao điểm M của \({\Delta _m}\) và mp (Oxy) khi m thay đổi.

Giải

a) \({\Delta _m}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng với các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  (m ; 1; -m) \) và \(\overrightarrow {{n_2}}  (1; -m; 1)\). Vậy \({\Delta _m}\) có vectơ chỉ phương là

            \(\overrightarrow {{u_m}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {1 - {m^2}; - 2m; - 1 - {m^2}} \right).\)

Trục Oz có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = (0 ; 0 ; 1)\).

Vậy nếu gọi \({\varphi _m}\) là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _m}\) và Oz thì

\(\cos {\varphi _m} = {{\left| {\overrightarrow {{u_m}} .\overrightarrow k } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_m}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = {{1 + {m^2}} \over {\sqrt {{{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2} + 4{m^2}+{{\left( {1 + {m^2}} \right)}^2}} }} = {1 \over {\sqrt 2 }}.\)

Suy ra \({\varphi _m} = {45^o}\) (không đổi).

Điểm M(x; y; z) thuộc \({\Delta _m}\) khi toạ độ của M là nghiệm của hệ

                       \(\left\{ \matrix{  mx + y - mz - 1 = 0 \hfill \cr  x - my + z - m = 0. \hfill \cr}  \right.\)                    (*)

Khử z từ hệ phương trình (*), ta được phương trình

\(2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y - 1 - {m^2} = 0\) (không chứa z).

Đây là phương trình của mặt phẳng \(\left( {{\alpha _m}} \right)\) chứa \({\Delta _m}\) và song song với trục Oz. Do đó, khoảng cách giữa \({\Delta _m}\) và Oz bằng khoảng cách từ gốc O(0 ; 0 ; 0) thuộc Oz tới mp(\({\alpha _m}\)). Vậy khoảng cách đó bằng:

\({d_m} = {{\left| { - 1 - {m^2}} \right|} \over {\sqrt {4{m^2} + {{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2}} }} = 1(\text{ không đổi})\)

b) Toạ độ giao điểm M của \({\Delta _m}\) và mp(Oxy) là nghiệm của hệ :

                 \(\left\{ \matrix{  mx + y = 1 \hfill \cr  x - my = m \hfill \cr  z = 0. \hfill \cr}  \right.\)

Bình phương hai vế của hai phương trình đầu của hệ rồi cộng lại, ta suy ra

                 \(\left\{ \matrix{  {x^2} + {y^2} = 1 \hfill \cr  z = 0. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính bằng 1 trong mặt phẳng toạ độ (Oxy).

Sachbaitap.com