Bài 93 trang 140 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-2; 1; 2), B(0; 4; 1), C(5;1;-5), D(-2; 8; -5)  và đường thẳng \(d:{{x + 5} \over 3} = {{y + 11} \over 5} = {{z - 9} \over { - 4}}.\)

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện.

b) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

c) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD

d) Tìm tọa độ các giao điểm M, N của đường thẳng d với mặt cầu (S).

e) Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M, N. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng đó.

Giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1} \right),\overrightarrow {AC}  = {\rm{ }}\left( {7{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right),\) suy ra

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\matrix{   3 & { - 1}  \cr   0 & { - 7}  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   { - 1} & 2  \cr   { - 7} & 7  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   2 & 3  \cr   7 & 0  \cr  } } \right|} \right) \)

                      \(= ( - 21;7; - 21).\)

Lại có \(\overrightarrow {AD}  = {\rm{ }}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}7{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = {\rm{ }}49{\rm{ }} + {\rm{ }}147 \ne 0\)

Do đó A, B, C, D là các đỉnh của một tứ diện.

b) \({V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {{196} \over 6} = {{98} \over 3}.\)

Gọi \(I(x{\rm{ }};y;z)\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, ta có :

                  \(\left\{ \matrix{  I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr  {IA^2} = I{C^2} \hfill \cr  {IA^2} = I{D^2}. \hfill \cr}  \right.\)

Từ đó suy ra \(x =  - 2,y = 1,z{\rm{ }} =  - 5.\) Vậy \(I = {\rm{ }}\left( { - 2{\rm{ }};{\rm{ }}1; - 5} \right)\) và R = IA = 7.

Do đó, mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình : 

\(\left( S \right){\rm{ }}:{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{(y - {\rm{ }}1)^2} + {(z{\rm{ }} + 5)^2} = {\rm{ }}49.\)

d) Dạng tham số của đường thẳng d là :

           \(\left\{ \matrix{  x{\rm{ }} =  - 5{\rm{ }} + {\rm{ }}3t \hfill \cr  y = {\rm{ }} - 11{\rm{ }} + 5t \hfill \cr  z = {\rm{ }}9{\rm{ }} - 4t. \hfill \cr}  \right.\)

Toạ độ \(\left( {x;y;{\rm{ }}z} \right)\) của giao điểm của d và (S) thoả mãn hệ :

                    \(\left\{ \matrix{  x{\rm{ }} =  - 5{\rm{ }} + {\rm{ }}3t \hfill \cr  y = {\rm{ }} - 11{\rm{ }} + 5t \hfill \cr  z = {\rm{ }}9{\rm{ }} - 4t. \hfill \cr  {\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{(y - {\rm{ }}1)^2} + {(z{\rm{ }} + 5)^2} = {\rm{ }}49. \hfill \cr}  \right.\)

\(\eqalign{  &  =  > {\left( {3t{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {5t - {\rm{ }}12} \right)^2} + {( - {\rm{ }}4t + 14)^2} = 49  \cr  &  \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  t = 2 \hfill \cr  t = 3. \hfill \cr}  \right. \cr} \)

+) Khi t = 2 thì \(x = {\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}y{\rm{ }} =  - 1{\rm{ }};{\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1\), ta được điểm \(M\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\)

+) Khi t = 3 thì \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }};y = {\rm{ }}4{\rm{ }};{\rm{ }}z{\rm{ }} =  - 3\), ta được điểm \(N\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right).\)

Vậy cắt (S) tại hai điểm \(M\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\) và \(N\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right).\)

e) Gọi (P) là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M. Khi đó, (P) đi qua điểm \(M\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_p}}  = \overrightarrow {IM}  = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }}; - 2{\rm{ }};{\rm{ }}6} \right).\)

Vậy phương trình của (P) là:

\(3\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} - 2(y{\rm{ }} + 1){\rm{ }} + {\rm{ }}6\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow 3x - 2y + 6z - 11 = 0.\)

Gọi (Q) là mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại N. Khi đó, mp(Q) đi qua điểm \(N\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \overrightarrow {IN}  = \left( {6{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)

Vậy phương trình của (Q) là :

\(6(x - {\rm{ }}4) + 3\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}4} \right) + {\rm{ }}2\left( {z{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 30 = 0.\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có

\(\cos \varphi  = {{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = {{\left| {18 - 6 + 12} \right|} \over {\sqrt {9 + 4 + 36} .\sqrt {36 + 9 + 4} }} = {{24} \over {49}}.\)

Sachbaitap.com