Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,15 trang 135,136 SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 2

Bài 1 trang 135 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Thực hiện phép tính:

\(a){\left( {2{\rm{x}} + y} \right)^2} + {\left( {5{\rm{x}} - y} \right)^2} + 2\left( {2{\rm{x}} + y} \right)\left( {5{\rm{x}} - y} \right)\)

\(b)\left( {2{\rm{x}} - {y^3}} \right)\left( {2{\rm{x}} + {y^3}} \right) - \left( {2{\rm{x}} - {y^2}} \right)\left( {4{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}{y^2} + {y^4}} \right)\)

Phương pháp:

Áp dụng các công thức nhân đa thức với đa thức và các hằng đẳng thức đã học để thực hiện phép tính

Lời giải:

a) (2x + y)² + (5x – y)² + 2(2x + y)(5x – y)

= 4x² + 4xy + y² + 25x² – 10xy + y² + 2(10x² – 2xy + 5xy – y²)

= 4x² + 4xy + y² + 25x² – 10xy + y² + 20x² – 4xy + 10xy – 2y²

= 49x².

b) (2x – y³)(2x + y³) – (2x – y²)(4x² + 2xy² + y²)

= [(2x)² – (y³)²] – [(2x)³ – y³]

= 4x² – y⁶ – 8x³ + y⁶

= – 8x³ + 4x².

Bài 2 trang 135 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho đa thức: \(P = {x^2} - {y^2} + 6{\rm{x}} + 9\)

a) Phân tích đa thức P thành nhân tử

b) Sử dụng kết quả của câu a để tìm thương của phép chia đa thức P cho x+y+3

Phương pháp:

Phân tích đa thức thành nhân tử rồi tìm thương

Lời giải:

a) P = x² – y² + 6x + 9

= (x² + 6x + 9) – y²

= (x + 3)² – y²

= (x + 3 – y)(x + 3 + y).

b) P : (x + y + 3) = (x + 3 – y)(x + 3 + y) : (x + 3 + y) = x + 3 – y.

Bài 3 trang 135 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho đa thức: \(f(x) = {x^2} - 15{\rm{x}} + 56\)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử.

b) Tìm x sao cho f(x) = 0

Phương pháp:

Phân tích đa thức thành nhân tử

Lời giải:

a) f(x) = x² – 15x + 56 = x² – 7x – 8x + 56

          = (x² – 7x) – (8x – 56)

          = x(x – 7) – 8(x – 7)

          = (x – 8)(x – 7).

b) f(x) = 0 hay (x – 8)(x – 7) = 0, điều này xảy ra khi x – 8 = 0 hoặc x – 7 = 0.

Từ đó suy ra hai giá trị của x để f(x) = 0 là x = 7 và x = 8.

Bài 4 trang 135 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho phân thức \(P = \frac{{2{{\rm{x}}^3} + 6{{\rm{x}}^2}}}{{2{{\rm{x}}^3} - 18{\rm{x}}}}\)

a) Viết điều kiện xác định và rút gọn phân thức P

b) Có thể tính giá trị của P tại x = −3 được không? Vì sao

c) Tính giá trị của phân thức P tại x = 4

d) Với giá trị nguyên nào của x thì P nhận giá trị nguyên?

Phương pháp:

- Điều kiện xác định của P là mẫu thức khác 0.

- Không thể tính được giá trị P tại x = -3 vì không thỏa mãn điều kiện ở câu a.

- Thay giá trị x = 4 và P để tính giá trị

- Viết P về dạng \(a + \frac{k}{x +b}\) với a, b, k là các số nguyên. Tìm x để k là bội của x + b, khi đó P nhận giá trị nguyên.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của phân thức là: 

2x3 – 18x ≠ 0 hay 2x(x2 – 9) ≠ 0 hay 2x(x – 3)(x + 3) ≠ 0 (*).

Ta có: 

b) Vì x = – 3 không thỏa mãn điều kiện xác định (*) ở câu a nên giá trị của phân thức P tại x = – 3 không xác định. Vậy không thể tính giá trị của P tại x = –3.

c) Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện (*)) vào P ta được: $=4$

$\mathrm{d)\; Ta\; có:}$

$\mathrm{P\; nguyên\; khi\; và\; chỉ\; khi\; nguyên,\; khi\; đó\; (x\; –\; 3)\; ∊\; Ư(3)\; =\; \{1;\; –1;\; 3;\; –3\}.}$

Kết hợp điều kiện xác định suy ra x ∊ {2; 4; 6}.

Bài 5 trang 135 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho biểu thức:

\(P = \left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right):1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

Trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện \({x^2}{y^2} - 1 \ne 0\)

a) Tính tổng \(A = \frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}}\) và \(B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

b) Từ kết quả câu a) hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Chứng minh đẳng thức: \(P = 1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 - {x^2}}}\)

d) Sử dụng câu c) hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1

Phương pháp:

Rút gọn phân thức theo quy tắc rút gọn

$\mathrm{Lời\; giải:}$

$\mathrm{a)}$

$\mathrm{b)}$

$\mathrm{c)}$

$\mathrm{Ta\; có}$

So sánh kết quả này với (*) suy ra $P=1-$

$d)\; Để\; P \; =1- , tức\; là$, suy ra (1 – x)² = 0, do đó x = 1.

Vì x²y² – 1 ≠ 0 nên với x = 1 thì y² – 1 ≠ 0 hay y ≠ 1; y ≠ –1.

Vậy để P = 1 thì x = 1 và y ≠ 1; y ≠ –1.

Bài 6 trang 135 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Bảng giá cước của một hãng taxi như sau:

a) Tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 35 km

b) Lập công thức tính số tiền taxi y (đồng) phải trả khi di chuyển x kilômét, với 1 < x  ≤ 30. Từ đó tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 30 km

c) Nếu một người phải trả số tiền taxi là 268 400 đồng, hãy tính quãng đường người đó đã di chuyển bằng taxi

Phương pháp:

a) Dựa vào bảng số liệu hãy tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 35 km.

b) Lập công thức tính số tiền taxi y (đồng) phải trả khi di chuyển x kilômét. Tù đó thay x = 30 vào công thức để tính số tiền.

c) Thay y = 268 400 vào để tính x là quãng đường người đó đã di chuyển bằng taxi.

Lời giải:

a) Số tiền phải trả khi di chuyển 1 km đầu là 10 000 đồng.

Số tiền phải trả khi di chuyển 29 km tiếp theo là 29 . 13 600 = 394 400 (đồng).

Số tiền phải trả khi di chuyển 5 km cuối cùng là 5 . 11 000 = 55 000 (đồng).

Vậy số tiền phải trả cho 35 km di chuyển là:

10 000 + 394 400 + 55 000 = 459 400 (đồng).

b) Vì 1 < x ≤ 30 nên số tiền trả y cho quãng đường x kilômét gồm hai phần: Phần thứ nhất là giá mở cửa 10 000 đồng; phần thứ hai là trả cho quãng đường x – 1 kilômét tiếp theo. Vậy công thức tính cần tìm là 

y = 10 000 + (x – 1) . 13 600 hay y = 13 600x – 3 600 (đồng). (*)

Áp dụng, nếu người đó di chuyển 30 km thì số tiền phải trả là:

13 600 . 30 – 3 600 = 404 400 (đồng).

c) Do số tiền đã trả cho taxi là 268 400 đồng, ít hơn 404 400 đồng, nên quãng đường đã di chuyển không quá 30 km. Vậy để tính quãng đường này ta có thể dùng công thức (*).

Ta có:

13 600x – 3 600 = 268 400

x = (268 400 + 3 600) : 13 600

x = 20.

Vậy quãng đường người đó di chuyển bằng taxi là 20 km.

Bài 7 trang 136 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Với giá trị nào của m, đường thẳng y=mx+1 (m≠0)

a) Song song với đường thẳng y=3x

b) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2

c) Đồng quy với các đường thẳng y=5x−2 và y=−x+4 (tức là ba đường thẳng này cắt nhau tại một điểm) Với giá trị m tìm được, hãy vẽ ba đường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa độ để kiểm nghiệm kết quả.

Phương pháp:

a) b) Sử dụng tính chất hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng song song.

c) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y=−x+4 và y=5x−2

Lời giải:

a) Đường thẳng y = mx + 1 (m ≠ 0) song song với đường thẳng y = 3x khi hai đường thẳng có cùng hệ số góc, tức là ra m = 3.

b) Đường thẳng y = mx + 1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –2 tức nó đi qua điểm (–2; 0). Điều đó, xảy ra khi 0 = m . (– 2) + 1, tức là khi m = 

c) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y = –x + 4 và y = 5x – 2 là

5x – 2 = –x + 4

6x = 6

x = 1.

Thay x = 1 vào đường thẳng y = 5x – 2, có y = 5 . 1 – 2 = 3.

Vậy giao điểm của hai đường thẳng y = –x + 4 và y = 5x – 2 là điểm (1; 3).

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi đường thẳng y = mx + 1 đi qua điểm (1; 3).

Thay x = 1, y = 3 vào đường thẳng y = mx + 1 có 3 = m + 1, suy ra m = 2.

Vậy m = 2 thì ba đường thẳng đã cho đồng quy tại điểm (1; 3).

Với m = 2, đồ thị của ba hàm số là ba đường thẳng như hình dưới đây.

Bài 8 trang 136 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi H là trung điểm của OB, K là trung điểm của OD

a) Hỏi tứ giác AHCK là hình gì?

b) Hình bình hành ABCD phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác AHCK là:

- Một hình thoi

- Một hình chữ nhật

- Một hình vuông

Phương pháp:

Vẽ hình theo yêu cầu của đề bài

Lời giải:

a) Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.

Ta có H là trung điểm của BO suy ra HB = HO = OB;

K là trung điểm của OD nên OK = KD = OD.

Mà OB = OD (O là trung điểm của BD) nên OK = OH, suy ra O là trung điểm của HK.

Tứ giác AHCK có O là trung điểm của hai đường chéo AC và HK.

Suy ra tứ giác AHCK là hình bình hành.

b)

+ Muốn tứ giác AHCK là hình thoi ta cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và HK vuông góc với nhau, cũng có nghĩa là hai đường chéo của hình bình hành ABCD vuông góc với nhau, vậy để tứ giác AHCK là hình thoi thì tứ giác ABCD là hình thoi.

+ Muốn tứ giác AHCK là hình chữ nhật, ta cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và HK bằng nhau, cũng có nghĩa là đường chéo AC của hình bình hành ABCD bằng nửa đường chéo BD (Do H, K lần lượt là trung điểm của OB và OD).

Vậy để tứ giác AHCK là hình chữ nhật điều kiện là: ABCD có đường chéo BD dài gấp hai lần đường chéo AC.

+ Tứ giác AHCK là hình vuông khi nó vừa là hình thoi, vừa là hình chữ nhật. Muốn vậy, thêm kết quả hai câu trên, tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện vừa là hình thoi và vừa có đường chéo BD dài gấp hai lần đường chéo AC.

Bài 9 trang 136 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến AF, BE và CD cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của BG và CG

a) Chứng minh rằng tứ giác DEKI là hình bình hành

b) Biết AF = 6cm. Tính độ dài các đoạn thẳng DI và EK

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác DEKI có các cặp cạnh đối song song với nhau nên DEKI là hình bình hành.

b) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC có:

CD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên D là trung điểm của AB

BE là đường trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AC

Do đó, DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // BC  và $=BC$ (1).

Tương tự, có IK là đường trung bình của tam giác GBC.

Suy ra IK // BC  và  (2).

Từ (1) và (2), suy ra DE // IK  và DE = IK.

Vậy DEKI là hình bình hành.

b) Có điểm G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra AG = AF =. = 4 cm.

Lại có E và K lần lượt là trung điểm của AC và CG nên EK là đường trung bình của tam giác CAG,  do đó EK =AG = = 2 cm.

Vì DEKI là hình bình hành nên DI = EK = 2 cm.

Bài 10 trang 136 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Hình sau mô tả một dụng cụ đo bề dày (nhỏ hơn 1cm) của số sản phẩm. Dụng cụ này gồm một thướng AC = 10 cm, có vạch chia đến 1 mm, gắn với một bản kim loại có cạnh thẳng AB sao cho khoảng cách BC = 1cm.

Muốn đo bề dày của vật, ta kẹp vật vào giữa bản kim loại và thước (đáy của vật áp vào bề mặt của thước AC). Khhi đó trên thước ta đọc đường "bề dày" d của vật (trên hình vẽ ta có d = 5,5mm). Hãy giả thích tại sao với dụng cụ đó, ta có thể đo được bề dày d của các vật (với d < 10 mm)

Phương pháp:

Sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng

Lời giải:

Kẹp vật vào giữa bản kim loại và thước như cách sử dụng, ta gọi B'C' là đoạn ứng với bề dày d cần đo của vật (nghĩa là d = B'C'). Dễ thấy B'C' // BC vì cùng vuông góc với AC. Do đó, ∆AB'C' ∽ ∆ABC, suy ra .

Vậy bề dày d của vật đúng bằng  độ dài (cm) của đoạn AC'. Do đó, chẳng hạn trên thước đo, AC' = 5,5 cm thì có nghĩa là $=$ cm = 5,5 mm.

Bài 11 trang 136 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng

a) ΔBIC \(\backsim\) ΔEIF

b) \(F{B^2} = FI.FC\)

c) Cho biết AB = 6cm, BC = 3 cm. Tính EF

Phương pháp:

a) Chứng minh hai tam giác BIC và tam giác EIF có \(\widehat {IBC} = \widehat {IEF}{;^{}}\widehat {ICB} = \widehat {{\rm{IFE}}}\)(hai góc so le trong) 

=> ΔBIC \(\backsim\) ΔEIF (g.g)

b) Sử dụng các tỉ số đồng dạng của hai tam giác để chứng minh \(F{B^2} = FI.FC\)

c) Tìm EF dựa vào định lý Thales.

a) Do BE là đường phân giác của góc B nên ta có  (1).

Tương tự với đường phân giác CF ta có   (2).

Do tam giác ABC cân tại A nên BA = AC, kết hợp với (1) và (2) suy ra 

Do đó, theo định lí Thalès đảo ta có EF // BC. Suy ra ∆BIC ∽ ∆EIF.

b) Ta có  (do BE là đường phân giác của góc B)

 (do CF là đường phân giác của góc C)

(do tam giác ABC cân tại A).

Do đó, .

Hai tam giác BFI và CFB có góc F chung và  (chứng minh trên).

Do đó ∆BFI ∽ ∆CFB (g.g).

Suy ra(đpcm).

c) Theo câu a) ta có 

Ta có EF // BC (chứng minh trên), do đó

Từ đó ta có => FE=2cm

Bài 12 trang 136 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông, có các đường cao BE, CF cắt nhau tại điểm H

a) Giả sử ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng ΔABE \(\backsim\) ΔACF , từ đó suy ra ΔAEF \(\backsim\) ΔABC

b) Cho biết AB = 10 cm, BC = 15 cm và BE = 8 cm. Tính EF 

Phương pháp:

a) Xét tam giác vuông ABE (vuông tại E) và tam giác vuông ACF (vuông tại F) có góc A chung => ΔABE \(\backsim\) ΔACF

b) Sử dụng các tỉ số đồng dạng của hai tam giác để tính EF

Lời giải:

a) Khi tam giác ABC nhọn ta có hình dưới đây.

Hai tam giác ABE vuông ở E và tam giác ACF vuông ở F có góc A chung nên chúng đồng dạng với nhau, suy ra 

Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung xen giữa hai cặp cạnh tỉ lệ nên chúng đồng dạng. Vậy ∆AEF ∽ ∆ABC.

Khi ABC là tam giác tù, kết quả đó vẫn đúng.

b) Theo định lí Pythagore, trong tam giác vuông ABE ta có: AB² = AE² + BE².

Suy ra AE² = AB² – BE² = 10² – 8² = 36. Suy ra AE = 6 (cm).

Theo kết quả câu a, ta có: ∆AEF ∽ ∆ABC.

Suy ra (cm)

Vậy EF = 9 cm.

Bài 13 trang 136 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho bảng thống kê sau:

Xếp loại	Tốt	Khá	Đạt	Không đạt
Vuông	7	10	15	10
Tròn	10	15	8	9

Để so sánh số lượng học sinh ở mỗi mức xếp loại của hai lớp ta nên dùng biểu đồ nào?

Phương pháp:

Dựa vào bảng thống kê và yêu cầu của đề bài để lựa chọn biểu đồ cho phù hợp

Lời giải:

Để so sánh số lượng học sinh ở mỗi mức xếp loại của hai ta nên dùng biểu đồ cột kép. Ta vẽ biểu đồ như hình sau: 

Bài 14 trang 136 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Báo điện tử Vnexpress đã khảo sát ý kiến của bạn đọc về phương án xử lý cầu Long Biên với câu hỏi "Bạn ủng hộ phương án xử lý nào với cầu Long Biên". Người trả lời chỉ được chọn một trong ba phương án: "Bảo tồn", "Vừa bảo tồn vừa sử dụng", "Di dời, xây cầy mới"

a) Dữ liệu thu được thuộc loại nào?

b) Tỉ lệ lựa chọn các phương án được chọn trong biểu đồ sau:

 Biết tổng số lượt bạn đọc tham gia trả lời câu hỏi là 1 819. Tính số lượt đọc lựa chọn mỗi phương á

Phương pháp:

Quan sát vào kết quả khảo sát để thực hiện các yêu cầu của đề bài.

Lời giải:

a) Dữ liệu thu được không là số, không thể sắp xếp thứ tự.

b)

Tỉ lệ lựa chọn phương án “Bảo tồn” là 34%, do đó số lượt bạn đọc lựa chọn phương án “Bảo tồn” là:

1 819 . 34% ≈ 618 (lượt).

Tỉ lệ lựa chọn phương án “Vừa bảo tồn vừa sử dụng” là 54%, do đó số lượt bạn đọc lựa chọn phương án “Vừa bảo tồn vừa sử dụng” là:

1 819 . 54% ≈ 982 (lượt).

Tỉ lệ lựa chọn phương án “Di dời, xây cầu mới” là 12%, do đó số lượt bạn đọc lựa chọn phương án “Di dời, xây cầu mới” là:

1 819 . 12% ≈ 218 (lượt).

Bài 15 trang 136 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Một túi đựng 24 viên bi giống hệt nhau và chỉ khác màu, trong đó có 9 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu vàng và 5 viên bi màu đen. Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi từ trong túi

a) Có bao nhiêu kết quả có thể? Các kết quả có thể này đồng khả năng không? Tại sao

b) Tính khả năng để xảy ra mỗi kết quả có thể đó

c) Tính xác suất để An lấy được:

- Viên bi màu vàng hoặc màu đỏ

- Viên bi màu đen hoặc màu xanh

- Viên bi không có màu đen

Phương pháp:

Tính tổng số viên bi là tổng số kết quả có thể xảy ra.

Do các viên bi giống nhau nên tổng các kết quả là đồng khả ăng xảy ra.

An lấy ngẫu nhiên 1 viên bi nên số viên bi màu nào là số kết quả lấy được viên bi màu đó.

Lời giải:

a) Có 4 kết quả có thể là:

A: “An bốc được viên bi màu đỏ”;

B: “An bốc được viên bi màu xanh”;

C: “An bốc được viên bi màu vàng”;

D: “An bốc được viên bi màu đen”.

Các kết quả có thể này không đồng khả năng vì số lượng các viên bi màu đỏ, màu xanh, màu vàng, màu đen là khác nhau.

b) Khả năng để xảy ra mỗi kết quả có thể là:

$P\left(A\right)=$.

c) Gọi E là biến cố “An bốc được viên bi màu đỏ hoặc màu vàng”. Có 9 + 4 = 13 viên bi màu đỏ hoặc màu vàng, tức là có 13 kết quả thuận lợi cho biến cố E.

Vậy .

Gọi F là biến cố: “An bốc được viên bi màu đen hoặc xanh”. Có 5 + 6 = 11 viên bi màu đen hoặc màu xanh, tức là có 11 kết quả thuận lợi cho biến cố F.

Vậy $=$

Gọi G là biến cố: “An bốc được viên bi không có màu đen”. Có 5 viên bi màu đen nên có 24 – 5 = 19 viên bi không có màu đen, tức là có 19 kết quả thuận lợi cho biến cố G.

Vậy $=.$

$Sachbaitap.com$