a) Tìm cực đại các hệ số m, n, p sao cho hàm số
\(f(x) = - {1 \over 3}{x^3} + m{x^2} + nx + p\)
Đạt cực đại tại điểm x = 3 và đồ thị (C) của nó tiếp xúc với đường thẳng \(y = 3x - {1 \over 3}\) tại giao điểm của (C) với trục tung
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị vừa tìm được của m, n, p
Giải
a) Đường thẳng \(y = 3x - {1 \over 3}\) cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0; - {1 \over 3}} \right)\)
Vì đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm A nên \(f(0) = p = - {1 \over 3}\)
Ta có \(f'(x) = - {x^2} + 2mx + n\) . Vì (C) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 3x - {1 \over 3}\) tại điểm A nên \(f'(0) = n = 3\)
Do hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 nên
\(f'(3) = - 9 + 6m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = 1\)
Với các giá trị m, n, p vừa tìm được, ta có hàm số
\(f(x) = - {1 \over 3}{x^3} + {x^2} + 3x + {1 \over 3}\)
Khi đó, \(f''(x) = - 2x + 2\) và \(f''(3) = - 4 < 0\). Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.
Sachbaitap.com
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục