Câu 2.80 trang 83 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y =  - {\log _a}\left( { - x} \right)\) đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y = -x\).

Giải

Gọi \(\left( {{G_1}} \right)\) và \(\left( {{G_2}} \right)\) lần lượt là đồ thị của các hàm số \(y = {a^x}\) và \(y =  - {\log _a}\left( { - x} \right)\).

\(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một điểm bất kì. Khi đó điểm đối xứng với M qua đường thẳng \(y =  - x\) là \(M'\left( { - {y_0};{x_0}} \right)\). Ta có

\(M \in \left( {{G_1}} \right) \Leftrightarrow {y_0} = {a^{{x_0}}} \Leftrightarrow {x_0} = {\log _a}{y_0} \)

\(\Leftrightarrow  - {x_0} =  - \log \left[ { - \left( { - {y_0}} \right)} \right] \Leftrightarrow M' \in \left( {{G_2}} \right)\)

Điều đó chứng tỏ \(\left( {{G_1}} \right)\) và \(\left( {{G_2}} \right)\) đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y =  - x\).

Sachbaitap.com