Câu 3.38 trang 147 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a) Cho a > 0. Chứng minh rằng

         \(\int\limits_\alpha ^\beta  {{{dx} \over {{x^2} + {a^2}}} = {1 \over a}\left( {r - k} \right)} \)

trong đó r và k là các số thực thỏa mãn \({\rm{tan}}r = {\beta  \over a},\tan k = {\alpha  \over a}\)

b) Tính \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{dx} \over {2 + c{\rm{os}}x}}} \)                          

Giải

a) Đặt \(x = {\rm{a}}\tan u\). Khi đó

\(dx = {{adu} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}u}},{x^2} + {a^2} = {a^2}\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right) = {{{a^2}} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}u}}\)

Theo công thức biến đổi, ta có:

\(\int\limits_\alpha ^\beta  {{{dx} \over {{x^2} + {a^2}}}}  = \int\limits_k^r {{{du} \over a} = {1 \over a}\left( {r - k} \right)} \) với \(\tan r = {\beta  \over \alpha },\tan k = {\alpha  \over a}\)                                  

b) Đặt \(u = \tan {x \over 2}\). Khi đó \(dx = {{2du} \over {1 + {u^2}}}.\)Mặt khác

 \(2 + c{\rm{os}}x = 2 + {{1 - {u^2}} \over {1 + {u^2}}} = {{3 + {u^2}} \over {1 + {u^2}}}\),

Vậy theo a) ta có

 \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{dx} \over {2 + c{\rm{os}}x}}}  = \int\limits_0^1 {{{1 + {u^2}} \over {3 + {u^2}}}.{{2du} \over {1 + {u^2}}} = } 2\int\limits_0^1 {{{du} \over {{u^2} + 3}} = } {2 \over {\sqrt 3 }}\int\limits_0^{{\pi  \over 6}} {du}  \)

\(= {{\pi \sqrt 3 } \over 9}\)

Sachbaitap.com