Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 4.54 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

a) Cho các số thực a, b sao cho

a) Cho các số thực a, b sao cho \({{\sin a} \over 2} \ne 0\)

Với mỗi số nguyên \(n \ge 1\), xét các tổng

\(S = c{\rm{os}}b + c{\rm{os}}\left( {a + b} \right) + c{\rm{os}}\left( {2a + b} \right) + ... \)

\(+ c{\rm{os}}\left( {na + b} \right)\)

\(S = \sin b + \sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {2a + b} \right) + ... \)

\(+ \sin \left( {na + b} \right)\)

Tính \(S + iT\), từ đó suy ra S và T

b) Chứng minh rằng với mọi số thực \(a \ne k\pi \left( {k \in Z} \right)\), với mỗi số nguyên \(n \ge 1\)  ta có:

\(\sin a + \sin 3a + ... + \sin \left( {2n - 1} \right)a = {{{{\sin }^2}na} \over {\sin a}}\)

\({\rm{cos}}a + c{\rm{os}}3a + ... + c{\rm{os}}\left( {2n - 1} \right)a = {{\sin 2na} \over {2\sin a}}\)

Giải

a) Đặt \(\alpha  = c{\rm{os}}a + i\sin a,\beta  = \cos b + i\sin b\) thì

\(\eqalign{& S = iT = \left[ {\cos b + i\sin b} \right] \cr&+ \left[ {\cos \left( {a + b} \right) + i\sin \left( {a + b} \right)} \right]  \cr &  + \left[ {\cos \left( {2a + b} \right) + i\sin \left( {2a + b} \right)} \right] + ... \cr&+ \left[ {\cos \left( {na + b} \right) + i\sin \left( {na + b} \right)} \right] \cr} \)

\( = \beta  + \beta \alpha  + \beta {\alpha ^2} + ... + \beta {\alpha ^n}\)

\( = \beta \left( {1\alpha  + {\alpha ^2} + ... + {\alpha ^n}} \right)\)

\( = \beta {{1 + {\alpha ^{n + 1}}} \over {1 - \alpha }}\) (để ý rằng \(\alpha  \ne 1\) do \(\sin {a \over 2} \ne 0\))

\(\eqalign{&  = \beta {{1 - \cos \left( {n + 1} \right)a - i\sin \left( {n + 1} \right)a} \over {1 - \cos a - i\sin a}}  \cr &  = \beta {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left[ {\sin {{n + 1} \over 2}a - i\cos {{n + 1} \over 2}a} \right].\cr&\;\;\;\;\;\left[ {\sin {a \over 2} + ic{\rm{os}}{a \over 2}} \right]  \cr &  = \beta {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left( {\cos {{na} \over 2} + i\sin {{na} \over 2}} \right)  \cr &  = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left( {\cos {{na} \over 2} + i\sin {{na} \over 2}} \right)\left( {\cos b + i\sin b} \right)  \cr &  = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left[ {\cos \left( {{{na} \over 2} + b} \right) + i\sin \left( {{{na} \over 2} + b} \right)} \right] \cr} \)

Từ đó suy ra: \(S = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\cos \left( {{{na} \over 2} + b} \right)\)  

                      \(T = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\sin \left( {{{na} \over 2} + b} \right)\)

Chú ý: Trong phần lượng giác ở lớp 11 đã có bài tập tương tự nhưng được giải bằng cách khác.

b) Giải bằng phương pháp tương tự như câu a).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 12 Nâng cao - Xem ngay

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Bài viết liên quan